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一元四次方程

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1計算方法

笛卡爾法
一般的四次方程還可以待定係數法解,這種方法稱為笛卡爾法,由笛卡爾於1637年提出。
先將四次方程化為x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0的形式。
令x=y-a/4,整理后得到y^4+py^2+qy+r=0 (1)
設y^4+py^2+qy+r=(y^2+ky+t)(y^2-ky+m)=y^4+(t+m-k^2)y^2+k(m-t)y+tm
比較dy對應項係數,得t+m-k^2=p,k(m-t)=q,tm=r
設k≠0,把t和m當作未知數,解前兩個方程,得t=(k^3+pk-q)/(2k),m=(k^3+pk+q)/(2k)
再代入第三個方程,得((k^3+pk)^2-q^2)/(4k^2)=r 。即k^6+2pk^4+(p^2-4r)k^2-q^2=0
解這個方程,設kο是它的任意一根,tο和mο是k=ko時t和m的值那麼方程(1)就成為
(y^2+koy+to)(y^2-koy+mo)=0
解方程y^2+koy+to=0和y^2-koy+mo=0就可以得出方程(1)的四個根,各根加上-4/a就可以得出原方程的四個根。

2求根公式

方程為 x^4+b·x^3+c·x^2+d·x+e=0
如果設
P=bd-4e-c/3
Q=bcd/27+﹙104/27﹚·ce-(2/27)·c-be-d
D=-4·P-27·Q
u=√(-13.5·Q+3/2·√(-3D))
v=√(-13.5·Q-3/2·√(-3D))
y=(u+v-3)/3
N=﹙1/4﹚b+﹙1/4﹚·b-c+y-(2y+4)·√﹛﹙1/4﹚·y-e﹜-b·√﹛﹙1/4﹚·y-c+y﹜
M=﹙1/4﹚b+﹙1/4﹚·b-c+y-(2y-4)·√﹛﹙1/4﹚·y-e﹜+b·√﹛﹙1/4﹚·y-c+y﹜
X1=﹙1/2﹚·√﹙﹙1/4﹚·b-c+y﹚-﹙1/4﹚·b+﹙1/2﹚·√N
X2=﹙1/2﹚·√﹙﹙1/4﹚·b-c+y﹚+﹙1/4﹚·b+﹙1/2﹚·√N
X3=-﹙1/2﹚·√﹙﹙1/4﹚·b-c+y﹚-﹙1/4﹚·b+﹙1/2﹚·√M
X4=-﹙1/2﹚·√﹙﹙1/4﹚·b-c+y﹚+﹙1/4﹚·b+﹙1/2﹚·√M
對照一元三次的公式,會發現它們有相似之處。
整合求根公式:
公式太過複雜,但可用於編程,省去中間變數。
一元四次方程的四個根(root)

  一元四次方程的四個根(root)

3應用舉例

如方程 x^4-1=0
其中
b=0
c=0
d=0
e=-1
則 P=4
Q=0
D=-256
u=6
v=-6
y=0
N=4
M=-4
X1=1
X2=-1
X3=i
X4=-i
這就是方程 x^4-1=0的四個根,其中有兩個實根,兩個虛根。
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