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1一致空間

在數學領域拓撲學中,一致空間是帶有一致結構的集合。一致空間是帶有用來定義一致性質如完備性、一致連續和一致收斂的附加結構的拓撲空間。
在一致結構和拓撲結構之間的概念區別是在一致空間內可以形式化有關於相對鄰近性和點間臨近性的特定概念。換句話說,想法如「x鄰近於a勝過y鄰近於b」在一致空間是有意義的。相對的,在一般拓撲空間內,給定集合A, B只能有意義的說點x「任意鄰近」A(就是說在 A 的閉包中),或者說 A是比B更小的x的「鄰域」,但是點間鄰近性和相對鄰近性不能單獨用拓撲結構描述。
一致空間推廣了度量空間和拓撲群因此是多數數學分析的根基。

2定義

一致空間有三個等價定義。
偽度量定義
一致空間可以使用偽度量系統來等價的定義,這是對泛函分析(帶有半范數提供的偽度量)特別有用的方式。更精確地說,設f:X×XR是在集合X上的偽度量。逆像Ua=f([0,a])對於a> 0 可以被證實形成了一致的基礎周圍系統。由 Ua生成的一致是由單一的偽度量f所定義的一致。
對於在X上的偽度量族 (fi),這個族所定義的一致結構是單獨偽度量fi所定義的一致結構的「最小上界」。這個一致性的基礎周圍系統由單獨偽度量fi所定義的一直的周圍的有限交集的集合來提供。如果偽度量的族是有限的,可以看出同樣的一致結構可以定義自單一的偽度量,就是這個族的「上包絡」 sup fi
更少瑣碎的,可證實允許可數的基礎周圍系統(並因此特別為由可數的偽度量族定義的一致)可以定義自一個單一偽度量。結論是任何一致結構都可以如上述那樣的定義自(可能不可數)偽度量族(參見 Bourbaki:《General Topology》 Chapter IX §1 no. 4)。
可一致化空間
拓撲空間被稱為可一致化的,如果一致結構兼容於這個拓撲。
所有可一致化空間是完全正則拓撲空間。此外,對於可一致化空間X下列等價:
X是柯爾莫果洛夫空間
X是豪斯多夫空間
X是吉洪諾夫空間
對於任何兼容的一致結構,所有周圍的交集是對角 {(x,x) : xX}。
可一致化空間的拓撲總是對稱拓撲;就是說這個空間是 R0空間。
反過來說,每個完全正則空間都是可一致化的。兼容於完全正則空間X的拓撲的一個一致性可以定義為最粗糙一致性,它使得所有X上的連續實數值函數為一致連續。這個一致性的基礎周圍系統提供為集合 (f×f)(V) 的所有有限交集,這裡的 fX上的連續實數值函數而V是一致空間R的周圍。這個一致性定義了一個拓撲,它明顯的粗糙於X的最初拓撲;並且它還精細於最初的拓撲(因此與它相符合)是完全正則性的簡單推論:對於任何xXx的鄰域V,有連續實數值函數f有著f(x)=0 並對於 V的補集中的點等於 1。
特別是,緊緻豪斯多夫空間是可一致化的。事實上,對於緊緻豪斯多夫空間XX×X中對角的所有鄰域的集合形成了唯一的兼容於這個拓撲的一致性。
豪斯多夫一致空間是可度量空間,如果它的一致性可以定義自為可數的偽度量族。實際上,如在上面偽度量定義中討論的,這種一致性可以定義自單一的偽度量,如果這個空間是豪斯多夫的,則它必然是度量。特別是,如果矢量空間的拓撲是豪斯多夫的並且可定義自可數的半范數族,則它是可度量的。

3一致連續

類似於在拓撲空間之間保持拓撲性質的連續函數,在一致空間之間的一致連續函數保持一致性質。帶有一致映射的一致空間形成了範疇。在一致空間之間的同構叫做一致同構。
一致連續函數被定義為其周圍的逆像還是周圍的函數,或等價的說,一致覆蓋的逆像還是一致覆蓋的函數。
所有一致連續函數都關於引發的拓撲是連續的。

4完備性

推廣完備度量空間的概念,你也可以定義一致空間的完備性。替代柯西序列,轉而使用柯西濾子(或柯西網)。
在一致空間X上的柯西濾子F是濾子F使得對於所有周圍U,存在AF有著A×AU。換句話說,一個濾子是柯西濾子,如果它包含「任意小」集合。可從定義中得出每個(關於這個一直結構定義的拓撲)收斂的濾子都是柯西濾子。柯西濾子叫做「極小」的,如果不包含更小(就是更粗)的柯西濾子(除了自己)。可以證明所有柯西濾子包含一個唯一的「極小柯西濾子」。每個點的鄰域濾子(由這個點的所有鄰域構成的濾子)是極小柯西濾子。
反過來說,一致空間稱為完備的,如果所有柯西濾子收斂。任何緊緻豪斯多夫空間都是關於兼容於這個拓撲的一致結構的完備一致空間。
完備一致空間享有如下重要性質:如果f:AY是從一致空間X的稠密子集A到完備一致空間Y的一致連續函數,則f可以擴張(唯一的)成在整體X上的一致連續函數。

5一致空間的豪斯多夫完全

如同度量空間,所有一致空間X豪斯多夫完全:就是說存在一個完備豪斯多夫一致空間Y和一致連續映射i:XY帶有如下性質:
對於任何從X到完備豪斯多夫一致空間Z的一致連續映射f,存在一個唯一的一致連續映射g:YZ使得f=gi
豪斯多夫完全Y是唯一的上至同構。作為一個集合Y可以選取為由X上的極小柯西濾子組成。作為每個X中點x的鄰域濾子B(x),映射i可以被定義為把x映射到B(x)。如此定義的映射i一般不是單射;事實上,等價關係i(x) = i(x') 的圖象是 X的所有周圍的交集,因此i是單射正好在X是豪斯多夫空間的時候。
Y上的一致結構定義如下:對於每個對稱周圍V(就是說使得 (x,y) 在 V中正好在 (y,x) 在 V的時候),設C(V) 是「至少共有一個 V-小集合」的所有極小柯西濾子的對 (F,G) 的集合。集合 C(V) 可以被證實形成了基礎周圍系統;如此就定義了配備了這個一致結構的 Y
集合i(X) 因此是 Y的稠密子集。如果X是豪斯多夫空間,則i是到i(X) 的同構,因此 X可用它的完全的稠密子集來識別。此外,i(X) 總是豪斯多夫的;它叫做關聯於 X豪斯多夫一致空間。如果R指示等價關係i(x) = i(x'),則商空間X/R同胚於i(X)。

6例子

所有度量空間(M,d) 都可被當作一致空間。實際上因為度量是當然的偽度量,上文的偽度量定義給出了 M的一致結構。這個一致性的基礎周圍系統提供自集合 。這個 M的一致結構生成了在M上的正常度量空間拓撲。但是,不同的度量空間可以有相同的一致結構(平凡的例子可通過度量的常數提供)。這個一致結構還生成一致連續和度量空間的完備性的等價定義。
使用度量,可以構造有相符合拓撲的不同一致結構的簡單例子。例如,設d1(x,y) = | x − y| 是在 R上的正常度量,並設d2(x,y) = | e− e|。則這兩個度量都引發在R上的正常拓撲,但是一致結構是不同的,因為 { (x,y) : | x − y | < 1 } 是 d1的一致結構的周圍但不是d2的。非正式的,這個例子可以被看作選取正常的一致性並通過連續但非一致連續函數的作用扭曲它。
所有拓撲群G(特別是所有拓撲矢量空間)成為一致空間,如果我們定義G×G的子集V是周圍,當且僅當它包含集合 { (x,y) : xyU} 對於 G的單位元的某個鄰域U。這個G上的一致結構叫做在G上的右一致性,因為對於所有G中的a,右乘法xxa是關於這個一致結構一致連續的。你還可以定義G上的左一致性;它們兩個不需要相符合,但是它們都生成在G上的給定拓撲。

7歷史

在安德烈·韋伊於1937年首次給出一致結構的明確定義之前,一致概念如完備性被使用度量空間討論。尼古拉·布爾巴基在書《Topologie Général》中提供了依據周圍的一致結構定義,而 John Tukey給出了一致覆蓋定義。韋伊還依據偽度量族來刻畫一致空間。

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