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三元一次方程

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有三種不同字母構成的方程,一般有三條三元一次方程才能解出未知數的解 。

1定義

如果方程組中含有三個未知數,且含有未知數的項的指數都是一次,這樣的整式方程組叫做三元一次方程組。(並有大括弧鏈接)。

2解法

他們主要的解法就是加減消元法和代入消元法,通常採用加減消元法,若方程組難解就用代入消元法,因題而異(與二元一次方程的解法相似)。

3概念

含有三個相同的未知數,每個方程中含未知數項的次數都是1次,並且一共有三個方程,叫做三元一次方程組。

4應用

三元一次方程一般將會在初中數學的方程部分中學到,
求二次函數解析式需要用到。
3x+1=4
4y+1=5
5z+1=6
不是3元一次方程

5目的要求

⒈了解三元一次方程組的概念;熟練掌握簡單的三元一次方程組的解法;能選擇簡便,特殊的解法解特殊的三元一次方程組.
⒉通過用代入消元法,加減消元法解簡單的三元一次方程組的訓練及選擇合理,簡捷的方法解方程組,培養運算能力.
⒊通過對方程組中未知數係數特點的觀察和分析,明確三元一次方程組解法的主要思路是
"消元",從而促成未知向已知的轉化,培養和發展邏輯思維能力.
⒋通過三元一次方程組消元後轉化為二元一次方程組,再消元轉化為一元一次方程及將一些代數問題轉化為方程組問題的方法的學習,培養初步運用轉化思想去解決問題,發展思維能力.

6知識要點

⒈三元一次方程組的概念:
含有三個未知數,每個方程的未知項的次數都是1,並且共有三個方程,這樣的方程組叫做三元一次方程組.
例如: 2x+3y-z=0
x-2y+5z=0
3x-y-z=0
就叫做三元一次方程組.
注意:每個方程不一定都含有三個未知數,但方程組整體上要含有三個未知數.
熟練掌握簡單的三元一次方程組的解法
會敘述簡單的三元一次方程組的解法思路及步驟.
思路:解三元一次方程組的基本思想仍是消元,其基本方法是代入法和加減法.
步驟:①利用代入法或加減法,消去一個未知數,得到一個二元一次方程組;
②解這個二元一次方程組,求得兩個未知數的值;
③將這兩個未知數的值代入原方程中含有三個未知數的一個方程,求出第三個未知數的值,把
這三個未知數的值用一個大括弧寫在一起就是所求的三元一次方程組的解.
靈活運用加減消元法,代入消元法解簡單的三元一次方程組.

7解法舉例

例如:解下列三元一次方程組 y=2x-7
5x+3y+2z=3
3x+z=7
分析:此方程組可用代入法先消去y,把①代入②,得,
5x+3(2x-7)+2z=3
即 11x+2z=24
解二元一次方程組, 11x+2z=24
3x+z=7
得: x=2 z=1
把x=2 代入 y=2x-7得y=-3
所以,這個方程組的解為 x=2
y=-3
z=1
例2. 2x-y+z=10
3x+2y-z=16
x+6y-z=28
分析:解三元一次方程組同解二元一次方程組類似,消元時,選擇係數較簡單的未知數較好.上述三元一次方程組中從三個方程的未知數的係數特點來考慮,先消z比較簡單.
解:①+②得,5x+y=26④
①+③得,3x+5y=38⑤
④與⑤組成方程組:
解這個方程組,得 x、y值
把代入便於計算的方程③,得z值
注意:為把三元一次方程組轉化為二元一次方程組,原方程組中的每個方程至少要用一次.
能夠選擇簡便,特殊的解法解特殊的三元一次方程組.
例如:解下列三元一次方程組 x+y=10
y+z=14
z+x=6
分析:此方程組中x,y,z出現的次數相同,係數也相同.根據這個特點,將三個方程
的兩邊分別相加解決較簡便.
解:①+②+③得:2(x+y+z)=30
x+y+z=15④
再④-①得:z=5
④-②得:y=9
④-③得:x=1
∴ x=1 y=9 z=5
例如:解下列方程組
x︰y=3︰2
2z-y=0
x+y+z=66
分析:根據方程組特點,方程①和②給出了比例關係,可先設x=3k,y=2k,由②得:z=y,∴z=×2k=k,再把x=3k,y=2k,z=k代入③,可求出k值,進而求出x,y,z的值.
解:由①設x=3k,y=2k
由②設z=y=×2k=k
把x=3k,y=2k,z=k分別代入③,得
3k+2k+k=66,得k=11
∴x=3k=33
y=2k=22
z=k=11
∴x=33 y=22 z=11
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