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基本概念與性質 形如y=ax^3+bx^2+cx+d(a≠0,b,c,d為常數)的函數叫做三次函數(cubics function)。 三次函數的圖像是一條曲線----回歸式拋物線(不同於普通拋物線),具有比較特殊性。

1一般解法

傳統解法
此外,一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的,用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d=0的標準型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到,即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。歸納出來的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即為兩個開立方之和。歸納出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出開立方裡面的內容,也就是用p和q表示A和B。方法如下:
⑴將x=A^(1/3)+B^(1/3)兩邊同時立方可以得到
⑵x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
⑶由於x=A^(1/3)+B^(1/3),所以⑵可化為 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移項可得
⑷x^3-3(AB)^(1/3)x-(A+B)=0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較,可知
⑸-3(AB)^(1/3)=p,-(A+B)=q,化簡得
⑹A+B=-q,AB=-(p/3)^3
⑺這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題,因為A和B可以看作是一元二次方程的兩個根,而⑹則是關於形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達定理,即
⑻y1+y2=-(b/a),y1*y2=c/a
⑼對比⑹和⑻,可令A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a
⑽由於形為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為
y1=-(b+(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)
y2=-(b-(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)
可化為
⑾y1=-(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2=-(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
將⑼中的A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a代入⑾可得
⑿A=-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)
B=-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)
⒀將A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
⒁x=(-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)
式 ⒁只是一元三方程的一個實根解,按韋達定理一元三次方程應該有三個根,不過按韋達定理一元三次方程只要求出了其中一個根,另兩個根就容易求出了。

2三次函數圖象和性質

三次函數圖象和性質A

  三次函數圖象和性質A

三次函數圖象A

  三次函數圖象A

三次函數圖象B

  三次函數圖象B

三次函數性態的五個要點
⒈三次函數y=f(x)在(-∞,+∞)上的極值點的個數
⒉三次函數y=f(x)的圖象與x 軸交點個數
⒊單調性問題
⒋三次函數f(x)圖象的切線條數
⒌融合三次函數和不等式,創設情境求參數的範圍
三次函數對稱中心
1.三次函數有對稱中心
(-b/3a,d+2*b^3/27a^2-b*c/3a).即(-b/3a,f(-b/3a)).
證明: 因為f(x)=a(x-x0)^3+b(x-x0)+y0的對稱中心是(x0,y0),即(x0,f(x0))
所以f(x)=ax^3+bx^2+cx+d如果能寫成f(x)=a(x-x0)^3+b(x-x0)+y0那麼三次函數的對稱中心就是(x0,f(x0)).
所以設f(x)=a(x+m)^3+p(x+m)+n
得f(x)=ax^3+3amx^2+(3am^2+p)x+am^3+pm+n
所以3am=b; 3am^2+p=c; am^3+pm+n=d;
所以m=b/3a; p=(3ac-b^2)/3a; n=d+(2b^3)/(27a^2)-bc/(3a)
所以f(x)=a(x+b/3a)^3+(c-B^2/3a)(x+b/3a)+d+2b^3/27a^2-bc/3a
得證
2.推廣
如果f(x)是一個n次多項式,n>=2(因為直線的對稱中心從狹義上講是沒有對稱中心 而在廣義上講是無數個對稱中心),其n次項係數是a0,n-1次項係數是a1,則有
⑴:如果y=f(x)的圖像是中心對稱圖形,其對稱中心是(-a1/n/a0,f(-a1/n/a0));
⑵:如果y=f(x)的圖像是軸對稱圖形,其對稱軸是x=-a1/n/a0.

3其他性質

特殊性質;在高考中的應用;三次函數的三大性質。
詳見參考資料。
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