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1簡介

形如
三角多項式公式

  三角多項式公式

的多項式,式中係數αk(k=0,1,…,n),bk(k=1,2,…,n)為任意給定的實數,αn,bn不全為零。n稱為此三角多項式的階數。任何一個三角多項式都是周期2π的周期函數,因此對於三角多項式的研究往往只要在長為2π的半開區間中進行。任何兩個三角多項式的和、差、積仍然是個三角多項式,而且,若Tn(r)與Tm(x)分別為n階與m階三角多項式,且m≥n,則Tn(xTm(x)是個階不超過m的三角多項式,Tn(xTm(x)是階為n+m的三角多項式。利用歐拉公式
餘弦

  餘弦

正弦

  正弦

任意一個n階三角多項式都可寫成
指數形式

  指數形式

式中
公式

  公式

n三角多項式在任一長為2π的半開區間中,最多只有2n個零點。因此,若兩個n階三角多項式在長為2π的半開區間中有2n+1個點處取值相同,則此兩個三角多項式完全相同。
對於n階三角多項式Tn(x),記
公式

  公式

常稱為Tn的Lp范數,若1≤p≤p┡≤∞,則
三角多項式
此外還有如下的尼科利斯基不等式
三角多項式
特別有
三角多項式

2伯恩斯坦不等式

Tn(x)是n階三角多項式,Tń(x)是它的導數,則有不等式
三角多項式
這是1912年С.Η.伯恩斯坦發現的,稱為伯恩斯坦不等式。其中係數n不能再減小,例如對任何常數A及α,Tn(x)=Asin(nx+α)都使它成等式。伯恩斯坦不等式在函數逼近論中起著重要的作用,並且有著各種拓廣。例如,С.Б.斯捷奇金於1948年證明,對任何n階三角多項式Tn(x)及自然數k,都有
三角多項式

3共軛三角多項式

對給定的n階三角多項式Tn(x),記
三角多項式
稱為Tn(x)的共軛三角多項式。對於共軛三角多項式的導數有不等式
三角多項式
這裡係數n也是不能減小的。
應該指出,對於復係數三角多項式Tn(x)(即諸係數αk,bk為複數),同樣有
三角多項式
於是,對於自然數k,有
三角多項式

4應用

自然,三角多項式是一類簡單的周期函數,但是,它是近似表示一般的周期函數的有效工具,隨著三角多項式的階的增高,任何連續的周期函數都可以藉助於三角多項逼近到預先給定的程度。反之如果已知這種逼近程度的收斂於零的速度,也就有可能推出被逼近函數的構造性質,這個事實本身是有著深刻的物理意義的,周期運動的分解便是一個明顯的例證。三角多項式是在其他數學、物理、力學等領域中有著廣泛的應用。

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