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 三角形重心的定義
三角形重心是三角形三邊中線的交點。

1重心的性質及證明方法

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1。
證明一

  證明一

三角形ABC,E、F是AB,AC的中點。EC、FB交於G。
證明:過E作EH平行BF。
∵AE=BE且EH//BF
∴AH=HF=1/2AF(中位線定理)
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴EG=1/2CG(⊿CFG∽⊿CHE)
2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
證明二

  證明二

證明方法:
在△ABC內,三邊為a,b,c,點O是該三角形的重心,AOA1、BOB1、COC1分別為a、b、c邊上的中線根據重心性質知,OA1=1/3AA1,OB1=1/3BB1,OC1=1/3CC1過O,A分別作a邊上高H1,H可知OH1=1/3AH 則,S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC);同理可證S(△AOC)=1/3S(△ABC),S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以,S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)
3、重心到三角形3個頂點距離平方的和最小。 (等邊三角形)
證明方法:
設三角形三個頂點為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一點為(x,y) 則該點到三頂點距離平方和為: (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2
=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
顯然當x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3(重心坐標)時
上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
最終得出結論。
4、在平面直角坐標系中,重心的坐標是頂點坐標的算術平均數,
即其坐標為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);
空間直角坐標系——橫坐標:(X1+X2+X3)/3縱坐標:(Y1+Y2+Y3)/3豎坐標:(z1+z2+z3)/3
5、三角形內到三邊距離之積最大的點。
6、在△ABC中,若MA向量+MB向量+MC向量=0(向量) ,則M點為△ABC的重心,反之也成立。
7、設△ABC重心為G點,所在平面有一點O,則向量OG=1/3(向量OA+向量OB+向量OC)
8、相同高三角形面積比為底的比,相同底三角形面積比為高的比。
證明方法:
三角形重心
∵D為BC中點,
∴BD=CD,
又∵h△ABD=h△ACD,h△BOD=h△COD,
∴S△ABD=S△ACD,S△BOD=S△COD,
即S△AOF+S△BOF+S△BOD=S△AOE+S△COE+S△COD,S△BOD=S△COD,
∴S△AOF+S△BOF=S△AOE+S△COE.
同理,
∵E為AC中點,
∴S△AOF+S△BOF=S△BOD+S△COD.
∴S△AOE+S△COE=S△BOD+S△COD.
又∵S△BOF/S△BOD+S△COD=OF/OC,S△AOF/S△AOE+S△COE,
即S△BOF=S△AOF。
∴BF=AF,
∴CF為AB邊上的中線,
即三角形的三條中線相交於一點。

2重心順口溜

三條中線必相交,交點命名為「重心」
重心分割中線段,線段之比二比一;

3向量關係

三角形重心
O是重心,向量OA+向量OB+向量OC=零向量
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