標籤:悖論概率三門

三門問題(Monty Hall problem)亦稱為蒙提霍爾問題、蒙特霍問題或蒙提霍爾悖論,大致出自美國的電視遊戲節目Let's Make a Deal。問題名字來自該節目的主持人蒙提·霍爾(Monty Hall)。參賽者會看見三扇關閉了的門,其中一扇的後面有一輛汽車,選中後面有車的那扇門可贏得該汽車,另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。當參賽者選定了一扇門,但未去開啟它的時候,節目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇,露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是:換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率?

1簡介

蒙提霍爾問題,亦稱為蒙特霍問題或三門問題(Monty Hall Problem),是一個源自博弈論的數學遊戲問題,大致出自美國的電視遊戲節目「Let's Make a Deal」。問題的名字來自該節目的主持人蒙提·霍爾(Monty Hall)。 這個遊戲的玩法是:參賽者會看見三扇關閉了的門,其中一扇的後面有一輛車,當參賽者選擇一扇門后,節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇,露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是:換另一扇門是否會增加參賽者贏得汽車的機率?如果嚴格按照上述的條件,即主持人清楚地知道,哪扇門后是羊,那麼答案是會。換門的話,贏得汽車的機率是2/3
這個問題亦被叫做蒙提霍爾悖論:雖然該問題的答案在邏輯上並不自相矛盾,但十分違反直覺。這問題曾引起一陣熱烈的討論。

2問題解答

解法一
問題的答案是可以:當參賽者轉向另一扇門而不是繼續維持原先的選擇時,贏得汽車的機會將會加倍。
有三種可能的情況,全部都有相等的可能性(1/3)︰
參賽者挑山羊一號,主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。
參賽者挑山羊二號,主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。
「參賽者挑汽車,主持人挑羊一號。轉換將失敗」,和「參賽者挑汽車,主持人挑羊二號。轉換將失敗。」此情況的可能性為:1/3*1/2+1/3*1/2=1/3。

解法二

另一種解答是假設你永遠都會轉換選擇,這時贏的唯一可能性就是選一扇沒有車的門,因為主持人其後必定會開啟另外一扇有山羊的門,消除了轉換選擇后選到另外一隻羊的可能性。因為門的總數是三扇,有山羊的門的總數是兩扇,所以轉換選擇而贏得汽車的概率是2/3,與初次選擇時選中有山羊的門的概率一樣。

3補充說明

第一次選的空門(概率66.6%),之後主持人開另一個空門,換門,得到汽車
第一次選的汽車(概率33.3%),之後主持人開另一個空門,不換門,得到汽車
這裡影響到結果的概率問題只發生在第一次選門上,如果條件如上設置,當一開始的門選定后,事件的結果也就決定了,所以這裡不存在之後主持人是選擇1號空門,還是2號空門的問題,所以在做概率計算是不考慮主持人的選擇。如果也要考慮主持人的話:
第一次選的空門1(概率33.3%),之後主持人開另一個空門,換門,得到汽車。 事件總概率 33.3%
第一次選的空門2(概率33.3%),之後主持人開另一個空門,換門,得到汽車。 事件總概率 33.3%
第一次選的汽車(概率33.3%),之後主持人開另一個空門1(概率50%),不換門,得到汽車 這個事件總概率 33.3%*50%=16.65%
第一次選的汽車(概率33.3%),之後主持人開另一個空門2(概率50%),不換門,得到汽車 這個事件總概率 33.3%*50%=16.65%
主持人選1號空門還是2號空門打開,這裡有個主持人的選擇概率,我假設的是主持人隨機選擇(抽籤或者隨意),所以各給了50%的概率,如果主持人就是喜歡1號空門,必開1號,那麼也就成了1號(100%),2號(0%)了,最後結果並不影響。
所以開始選中汽車,最後換門不得獎的概率是33.3%,開始選中空門,換門最後得獎的概率是66.6%

4美國影片

《決勝21點》
蒙提霍爾問題(Monty Hall Problem,俗稱「三扇門問題」或「車羊問題」)因美國影片《決勝21點》為大多數非數學專業人士所知曉,《決勝21點》改編自關於美國華裔男子馬愷文的一個真實故事,具體內容見百度百科詞條「玩轉21點」。

5美國專欄

由於回答「蒙提霍爾問題」(「Monty Hall dilemma」),瑪麗蓮·沃斯·莎凡特的專欄在20世紀90年代早期的美國捲起了一股旋風。這道題出現在霍爾主持的「讓我們做筆交易」遊戲秀中,參賽者面臨著極其艱難的抉擇。問題是在1990年9月9日由馬里蘭州哥倫比亞的克雷格·惠特克(Craig Whitaker)提出的。「親愛的瑪麗蓮,」惠特克寫道。「假如你在遊戲秀現場,你有三扇門可供選擇。其中一扇後面是一輛汽車,另外兩輛後面各是一隻山羊。你選擇了一扇門,假定為門1,然後主持人(他知道門後面是什麼)打開了另一扇門,假定為門3,後面是一隻山羊。他問你『你想選門2嗎?』這時候,你如果改選門2是否更有優勢?」
莎凡特的回答是改選會更有優勢,這在全國引起了激烈的爭議:人們寄來了數千封抱怨信,很多寄信人是科學老師或學者。一位來自佛羅里達大學的讀者寫道:「這個國家已經有夠多的數學文盲了,我們不想再有個世界上智商最高的人來充數!真讓人羞愧!」另一個人寫道:「我看你就是那隻山羊!」美國陸軍研究所(US Army Research Institute)的埃弗雷特·哈曼(Everett Harman)寫道,「如果連博士都要出錯,我看這個國家馬上要陷入嚴重的麻煩了。」
但是莎凡特並沒有錯。最後她用整整4個專欄,數百個新聞故事及在小學生課堂模擬的測驗來說服她的讀者她是正確的。「哦,那真是太有趣了。實際上我十分享受這些討厭的來信,」她說。「這些傢伙我真是愛死他們了!」
這一問題的關鍵在於主持人,因為他總會挑一扇後面沒有獎品(汽車)的門。遊戲秀的調查數據顯示,那些改選的參賽選手贏的幾率是那些沒有改選的人的兩倍,這證實了莎凡特在其第三篇專欄中的解釋:「當你從三扇門中選了門1后,這扇門後面有獎的幾率是1/3,另兩扇門是2/3.但接下來主持人給了你一個線索。如果獎品在門2后,主持人將會打開門3;如果獎品在門3后,他會打開門2。所以如果你改選的話,只要獎品在門2或門3后你就會贏,兩種情況你都會贏!但是如果你不改選,只有當獎品在門1后你才會贏。流言終結者
流言終結者做了一次關於三門問題的實驗。
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