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1上確界定義

「上確界」的概念是數學分析中最基本的概念。 考慮一個實數集合M. 如果有一個實數S,使得M中任何數都不超過S,那麼就稱S是M的一個上界。
在所有那些上界中如果有一個最小的上界,就稱為M的上確界。
一個有界數集有無數個上界和下界,但是上確界卻只有一個。
上確界的數學定義
有界集合S,如果β滿足以下條件
(1)對一切x∈S,有x≤β,即β是S的上界;
(2)對任意a<β,存在x∈S,使得x>a,即β又是S的最小上界,
則稱β為集合S的上確界,記作β=supS (同理可知下確界的定義)
在實數理論中最基本的一條公理就是所謂的確界原理:「任何有上界(下界)的非空數集必存在上確界(下確界)」。
上確界的證明
(1)每一個 x ∈ X 滿足不等式 x ≤ m;
(2) 對於任何的 ε > 0, 存在有x' ∈ X, 使 x' > M - ε
則數 M = sup{x} 稱為集合X的上確界。

2確界定理

在一般的數學分析學教材中,實數理論一章,為了說明實數的連續性,有一系列的定理,理論比較嚴密的前蘇聯教材一般是以戴德金分割定理為出發點證明其它的等價定理。而中國教材為了簡化,很多都是從確界定理為出發點進行的證明,其他說明實數的連續性的定理還有區間套定理,有限覆蓋定理等等。

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