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不動點,是一個函數術語,在數學中是指「被這個函數映射到其自身一個點」。

1 不動點 -定義

  函數的不動點,在數學中是指被這個函數映射到其自身一個點。

2 不動點 -舉例

  取一個淺盒和一張紙,紙恰好蓋住盒內的底面。可想而知此時紙上的每個點與正在它下面的盒底上的那些點配成對。把這張紙拿起來,隨機地揉成一個小球,再把小球扔進盒裡。拓撲學家已經證明,不管小球是怎樣揉成的,也不管它落在盒底的什麼地方,在揉成小球的紙上至少有一個這樣的點,它恰好處在它盒底原來配對點的正上方。
  通過具體找到這個點,就能說明這個問題了。
  紙被揉成球以後,看它現在投到紙盒底部的影子。紙盒底部的影子區域肯定比紙盒底要小。那麼,就取【紙盒底部的在影子內的那個部分】,它肯定對應於紙團裡面的某一小團部分。(因為整個底板對應於整個紙團,那麼地板的一部分就肯定對應於一部分紙團)
  假如去掉紙團的其他部分,那一小團部分同樣可以在紙盒底面投影,而且投影肯定比剛才的大投影小,而且在它之內。(因為它是在整個紙團之內)。那麼,取這一小片投影(注意這片影子肯定是連續的不會斷開,因為紙沒有撕裂),當它再往紙團里對應的時候,肯定對應於其中更小的一團。我們再次把多餘的紙去掉。
  就是說:
  整個紙盒對應於紙團
  紙盒【在紙團投影內的部分】對應於紙團內的一小塊
  紙盒【一小塊的投影的部分】對應於剛才那一小塊內的更小一塊
  紙盒【更小塊投影的部分】對應於更小塊中的更更小一塊
  …………………………
  不斷地去掉紙無限次,最後紙團只剩下了一個點,它的投影就對應於紙盒的一個點。

3 不動點 -函數不動點

  例如,定義在實數上的函數f,
  f(x) = x^2 − 3x + 4,
  則2是函數f的一個不動點,因為f(2) = 2。
  也不是每一個函數都具有不動點。例如f(x) = x + 1就沒有不動點。因為對於任意的實數,x永遠不會等於x + 1。用畫圖的話來說,不動點意味著點(x,f(x))在直線y = x上,或者換句話說,函數f的圖像與那根直線有共點。這個例子的情況是,這個函數的圖像與那根直線是一對平行線。

4 不動點 -不動點原理

  不動點原理是數學上一個重要的原理,也叫壓縮映像原理或巴拿赫(Banach)不動點定理,完整的表達:完備的度量空間上,到自身的一個壓縮映射存在唯一的不動點。用初等數學可以這麼理解:連續映射f的定義域包含值域,則存在一個x使得f(x)=x 不動點的概念可以推廣到一般的拓撲空間上。 假設X是拓撲空間, f:X→X是一個連續映射, 且存在x∈X, 使得f(x)=x, 就稱x是不動點。

5 不動點 -不動點應用

  1 利用f(x)的不動點解方程(牛頓切線法)
  2 利用f(x)的不動點求函數或多項式的解析式
  3 利用f(x)的不動點討論n-周期點問題
  4 求解數列問題(求解一階遞歸數列的通項公式)
  5 求解一階遞歸數列的極限

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