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不等式分為嚴格不等式與非嚴格不等式。一般地,用純粹的大於號、小於號「>」「<」連接的不等式稱為嚴格不等式,用不小於號(大於或等於號)、不大於號(小於或等於號)「≥」「≤」連接的不等式稱為非嚴格不等式,或稱廣義不等式。在一個式子中的數的關係,不全是等號,含不等符號的式子,那它就是一個不等式.

1 不等式 -簡介

用不等號可以將兩個解析式連接起來所成的式子。在一個式子中的數的關係,不全是等號,含不等符號的式子,那它就是一個不等式.例如x+y≥xy,-2x≤1,x>0 ,x<3,3x≠5等 。根據解析式的分類也可對不等式分類,不等號兩邊的解析式都是代數式的不等式,稱為代數不等式;也分一次或多次不等式。只要有一邊是超越式,就稱為超越不等式。例如lg(1+x)>x是超越不等式。
不等式分為嚴格不等式與非嚴格不等式。一般地,用純粹的大於號、小於號「>」「<」連接的不等式稱為嚴格不等式,用不小於號(大於或等於號)、不大於號(小於或等於號)
「≥」(大於等於符號)「≤」(小於等於符號)連接的不等式稱為非嚴格不等式,或稱廣義不等式。
通常不等式中的數是實數,字母也代表實數,不等式的一般形式為F(x,y,……,z)≤G(x,y,……,z )(其中不等號也可以為<,≥,> 中某一個),兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域,不等式既可以表達一個命題,也可以表示一個問題。

2 不等式 -整式


是不等式兩邊都是整式 ( 未知數不在分母上 )
一元一次不等式:含有一個未知數(即一元),並且未知數的次數是1次(即一次)的不等式.如3-X>0
同理:二元一次不等式:含有兩個未知數(即二元),並且未知數的次數是1次(即一次)的不等式.

3 不等式 -基本性質


①如果x>y,那麼yy;(對稱性)
②如果x>y,y>z;那麼x>z;(傳遞性)
③如果x>y,而z為任意實數或 整式,那麼x+z>y+z;(加法原則)
④ 如果x>y,z>0,那麼xz>yz;如果x>y,z<0,那麼xz
⑤如果x>y,z>0,那麼x÷z>y÷z;如果x>y,z<0,那麼x÷z
⑥如果x>y,m>n,那麼x+m>y+n;( 充分不必要條件)
⑦如果x>y>0,m>n>0,那麼xm>yn;
⑧如果x>y>0,那麼x的n次冪>y的n次冪(n為正數)
如果由不等式的基本性質出發,通過邏輯推理,可以論證大量的初等不等式,以上是其中比較有名的。

4 不等式 -原理


主要的有:
①不等式F(x)< G(x)與不等式 G(x)>F(x)同解。
②如果不等式F(x) < G(x)的定義域被解析式H( x )的定義域所包含,那麼不等式 F(x)
③如果不等式F(x)0,那麼不等式F(x)<0,那麼不等式F(x)H(x)G(x)同解。
④不等式F(x)G(x)>0與不等式同解;不等式F(x)G(x)<0與不等式同解。

5 不等式 -注意事項


1.符號:
不等式兩邊都乘以或除以一個負數,要改變不等號的方向。
2.確定 解集:
比兩個值都大,就比大的還大;
比兩個值都小,就比小的還小;
比大的大,比小的小,無解;
比小的大,比大的小,有解在中間。
三個或三個以上 不等式組成的不等式組,可以類推。
3.另外,也可以在數軸上確定解集:
把每個不等式的解集在 數軸上表示出來,數軸上的點把數軸分成若干段,如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣,那麼這段就是不等式組的解集。有幾個就要幾個。
4.不等式兩邊相加或相減,同一個數或式子,不等號的方向不變。(移項要變號)
5.不等式兩邊相乘或相除,同一個正數,不等號的方向不變。(相當係數化1,這是得正數才能使用)
6.不等式兩邊乘或除以同一個負數,不等號的方向改變。(÷或×1個負數的時候要變號)

6 不等式 -證明

比較法


包括比差和比商兩種方法。綜合法


證明不等式時,從命題的已知條件出發,利用公理、定理、法則等,逐步推導出要證明的命題的方法稱為綜合法,綜合法又叫順推證法或因導果法。分析法


證明不等式時,從待證命題出發,分析使其成立的充分條件,利用已知的一些基本原理,逐步探索,最後將命題成立的條件歸結為一個已經證明過的定理、簡單事實或題設的條件,這種證明的方法稱為分析法,它是執果索因的方法。放縮法


證明不等式時,有時根據需要把需證明的不等式的值適當放大或縮小,使其化繁為簡,化難為易,達到證明的目的,這種方法稱為放縮法。數學歸納法


用數學歸納法證明不等式,要注意兩步一結論。
在證明第二步時,一般多用到比較法、放縮法和分析法。反證法


證明不等式時,首先假設要證明的命題的反面成立,把它作為條件和其他條件結合在一起,利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個與命題的條件或已證明的定理或公認的簡單事實相矛盾的結論,以此說明原假設的結論不成立,從而肯定原命題的結論成立的方法稱為反證法。

7 不等式 -重要式子


柯西不等式
對於2n個任意實數x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn,恆有
(x1y1+x2y2+…+xnyn)^2≤(x1^2+x2^2+…+xn^2)(y1^2+y2^2+…+yn^2)
柯西不等式的幾種變形形式
1.設aiÎR,bi>0 (i=1,2,…,n)則,當且僅當bi=lai (1£i£n)時取等號
2.設ai,bi同號且不為零(i=1,2,…,n),則,當且僅當b1=b2=…=bn時取等
柯西不等式的一般證法有以下幾種: ①Cauchy不等式的形式化寫法就是:記兩列數分別是ai, bi,則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2. 我們令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 則我們知道恆有 f(x) ≥ 0. 用 二次函數無實根或只有一個實根的條件,就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 於是 移項得到結論。 ②用向量來證. m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX. 因為cosX小於等於1,所以:a1b1+a2b2+......+anbn小於等於a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2 這就證明了不等式. 柯西不等式還有很多種,這裡只取兩種較常用的證法. 【柯西不等式的應用】 柯西不等式在求某些函數最值中和證明某些不等式時是經常使用的理論根據,我們在教學中應給予極大的重視。 巧拆常數: 例:設a、b、c 為正數且各不相等。 求證: (2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)>(9/a+b+c) 分析:∵a 、b 、c 均為正數 ∴為證結論正確只需證:2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]>9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1)
證明2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又 a、b 、c 各不相等,故等號不能成立 ∴原不等式成立。
排序不等式
又稱排序原理。
對於兩組有序的實數x1≤x2≤…≤xn,y1≤y2≤…≤yn,設yi1,yi2,…,yin是后一組的任意一個排列,
記S=x1yn+x2yn-1+…+xny1,M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin,L=x1y1+x2y2+…+xnyn,那麼恆有S≤M≤L。
反序和≤亂序和≤順序和

8 不等式 -其他式子


琴生不等式
均值不等式
絕對值不等式
權方和不等式
赫爾德不等式
閔可夫斯基不等式
貝努利不等式
舒爾不等式

9 不等式 -例題

例1


判斷下列命題的真假,並說明理由.
若a>b,c=d,則ac>bd(假,因為c.d符號不定)
若a+c>c+b,則a>b;(真)
若a>b且ab<0,則a<0;(假)
若-a<-b,則a>b;(真)
若|a|b2;(充要條件)
說明:本題要求學生完成一種規範的證明或解題過程,在完善解題規範的過程中完善自身邏輯思維的嚴密性.例2


a,b∈R且a>b,比較a3-b3與ab2-a2b的大小.(≥)
說明:強調在最後一步中,說明等號取到的情況,為今後 基本不等式求最值作思維準備. 例3


設a>b,n是偶數且n∈N*,試比較an+bn與an-1b+abn-1的大小.
說明:本例條件是a>b,與正值不等式乘方性質相比在於缺少了a,b為正值這一條件,為此我們必須對a,b的取值情況加以分類討論.因為a>b,可由三種情況(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到總有an+bn>an-1b+abn-1.通過本例可以開始滲透分類討論的 數學思想 例4


設a>b,n是偶數且n∈N*,試比較an+bn與butdasdc的大小

10 不等式 -定理口訣


解不等式的途徑,利用函數的性質。對指無理不等式,化為有理不等式。
高次向著低次代,步步轉化要等價。數形之間互轉化,幫助解答作用大。
證不等式的方法,實數性質威力大。求差與0比大小,作商和1爭高下。
直接困難分析好,思路清晰綜合法。非負常用基本式,正面難則反證法。
還有重要不等式,以及數學歸納法。圖形函數來幫助,畫圖建模構造法。
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