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丟番圖方程又名不定方程、整係數多項式方程,是變數僅容許是整數的多項式等式;即形式如 ax+by=c,其中所有的aj、bj和c均是整數,若其中能找到一組整數解x1,x2...,xn和y1,y2,....,yn者則稱之有整數解。

1 丟番圖方程 -定義

  丟番圖方程又名不定方程、整係數多項式方程,是變數僅容許是整數的多項式等式;即形式如右上角圖的方程,其中所有的aj、bj和c均是整數,若其中能找到一組整數解m1,m2...mn者則稱之有整數解。
  丟番圖問題有數條等式,其數目比未知數的數目少;丟番圖問題要求找出對所有等式都成立的整數組合。對丟番圖問題的數學研究稱為丟番圖分析。
  3世紀希臘數學家亞歷山大城的丟番圖曾對這些方程進行研究。
  丟番圖方程的例子有貝祖等式、勾股定理的整數解、四平方和定理和費馬最後定理等

2 丟番圖方程 -歷史概述

  丟番圖方程是數論中最古老的分支之一。 古希臘的丟番圖早在公元3世紀就開始研究不定方程,因此常稱不定方程為丟番圖方程。 Diophantus,古代希臘人,被譽為代數學的鼻祖,流傳下來關於他的生平事迹並不多。今天我們稱整係數的不定方程為「Diophantus方程」,內容主要是探討其整數解或有理數解。他有三本著作,其中最有名的是《算術》,當中包含了189個問題及其答案,而許多都是不定方程組 (變數的個數大於方程的個數)或不定方程式 (兩個變數以上)。丟番圖只考慮正有理數解,而不定方程通常有無窮多解的。
  研究不定方程要解決三個問題:①判斷何時有解。②有解時決定解的個數。③求出所有的解。中國是研究不定方程最早的國家,公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題,公元5世紀的《 張丘建算經》中的百雞問題標誌中國對不定方程理論有了系統研究。秦九韶的大衍求一術將不定方程與同餘理論聯繫起來。百雞問題說:「雞翁一,直錢五,雞母一,直錢三,雞雛三,直錢一。百錢買百雞,問雞翁、母、雛各幾何?」。設x,y,z分別表雞翁、母、雛的個數,則此問題即為不定方程組的非負整數解x,y,z,這是一個三元不定方程組問題。
  丟番圖生平
  代數之父─丟番圖(Diophantine)是一位古希臘的大數學家,為第一位懂得使用符號代表數來研究問題的人。 其中丟番圖最著名的可能就是他的墓志銘了:
  「墳中安葬著丟番圖,多麼令人驚訝,它忠實地記錄了所經歷的道路。
  上帝給予的童年佔六分之一,又過十二分之一,兩頰長鬍,再過七分之一,點燃起結婚的蠟燭。
  五年之後天賜貴子,可憐遲到的寧馨兒,享年僅及其父之半,便進入冰冷的墓。
  悲傷只有用數論的研究去彌補,又過四年,他也走完了人生的旅途。 」
  我們可以從中知道:「丟番圖的一生,幼年佔1/6,青少年佔1/12,又過了1/7才結婚,5年後生子,子先父4年而卒,壽為其父之半。」計算丟番圖的方程為X/6 + X/12 + X/7 + 5 + X/2 + 4 = X,X = 84,由此知道丟番圖享年84歲。

3 丟番圖方程 -一次不定方程

  一次不定方程是形式如a1x1 + a2x2 + ... + anxn = c的方程,一次不定方程有整數解的充要條件為: (a1,...,an)須是c的因子,其中(a1,...,an)表示a1,...,an的最大公因子。
  若有二元一次不定方程ax + by = c,且(a,b) | c,則其必有一組整數解x1,y1,並且還有以下關係式:
  * x = x1 + [b / (a,b)]t
  * y = y1 − [a / (a,b)]t
  t為任意整數,故此一次不定方程有無限多解。請參見貝祖等式。

4 丟番圖方程 -丟番圖分析

  經典問題
  * 有解答嗎?
  * 除了一些顯然易見的解答外,還有哪些解答?
  * 解答的數目是有限還是無限?
  * 理論上,所有解答是否都能找到?
  * 實際上能否計算出所有解答?
  希爾伯特第十問題
  1900年,希爾伯特提出丟番圖問題的可解答性為他的23個問題中的第10題。1970年,一個數理邏輯的結果馬蒂雅謝維奇定理(Matiyasevich's theorem)說明:一般來說,丟番圖問題都是不可解的。更精確的說法是,不可能存在一個演算法能夠判定任何丟番圖方程式否有解,甚至,在任何相容於皮亞諾算數的系統當中,都能具體構造出一個丟番圖方程,使得沒有任何辦法可以判斷它是否有解。
  
  現代研究
  

  * 丟番圖集是遞歸可枚舉集。
  * 常用的方法有無窮遞降法和哈賽原理。
  * 丟番圖逼近研究了變數為整數,但係數可為無理數的不等式。

5 丟番圖方程 -小學要求的分式解法

  丟番圖是一個人,他的生命是一個整體1
  他的生命一共經歷了以下一些關鍵點:
  1/6、1/12、1/7、5年、1/2、4年,然後他死了
  1/2是怎麼得來的呢?因為他的孩子出生后,到他的孩子死了的這段時間,占丟番圖生命的一半,所以這段時間記為1/2,
  現在來看看,他的生命一共由1/6+1/12+1/7+1/2和9年組成,那麼問題很簡單了,就是你要知道這9年佔據他一生的幾分之幾呢?
  當然是1-(1/6+1/12+1/7+1/2)
  因為從一開始就說了,丟番圖的生命是一個整體1
  所以他的年齡有多大呢?反過來,就是
  9除以(1-(1/6+1/12+1/7+1/2))
  對括弧裡面的分式進行統分,很簡單就解出來了
  明白了嗎? 9除以(1-(1/6+1/12+1/7+1/2))=9除以(9/84),當然是84歲了。
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