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1概念

(1)三角形中位線定義:連接三角形兩邊中點線段叫做三角形的中位線。
中位線
(2)梯形中位線定義:連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。
注意:
(1)要把三角形的中位線與三角形的中線區分開。三角形中線是連接一頂點和它對邊的中點,而三角形中位線是連接三角形兩邊中點的線段。
(2)梯形的中位線是連接兩腰中點的線段而不是連接兩底中點的線段。
(3)兩個中位線定義間的聯繫:可以把三角形看成是上底為零時的梯形,這時梯形的中位線就變成三角形的中位線。

2定理概述

三角形中位線定理:三角形的中位線平行於第三邊並且等於它的一半.
如圖,三角形兩邊中點的連線(中位線)平行於第BC邊,且等於第三邊的一半。
三角形的中位線所構成的小三角形(中點三角形)面積是原三角形面積的四分之一。

3證明

如圖,已知△ABC中,D,E分別是AB,AC兩邊中點。
中位線證明

  中位線證明

求證DE平行且等於BC/2
法一:過C作AB的平行線交DE的延長線於F點。
∵CF∥AD
∴∠BAC=∠ACF
∵AE=CE、∠AED=∠CEF、∠BAC=∠ACF
∴△ADE≌△CFE
∴AD=CF
∵D為AB中點
∴AD=BD
∵AD=CF、AD=BD
∴BD=CF
∵BD∥CF、BD=CF
∴BCFD是平行四邊形
∴DF∥BC且DF=BC
∴在平行四邊形ADCF中DE=BC/2
∴三角形的中位線定理成立.
法二:利用相似證
∵D,E分別是AB,AC兩邊中點
∴AD=AB/2 AE=AC/2
∴AD/AE=AB/AC
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴DE/BC=AD/AB=1/2
∴∠ADE=∠ABC
∴DF∥BC且DE=BC/2
法三:坐標法:
設三角形三點分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
則一條邊長為 :根號(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
另兩邊中點為((x1+x3)/2,(y1+y3)/2),和((x2+x3)/2,(y2+y3)/2)
這兩中點距離為:根號((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2
最後化簡時將x3,y3消掉正好中位線長為其對應邊長的一半

其他題目

已知:在△ABC中,中位線EF與中線AD相交於點O,
  求證:AD與EF互相平分.
  證明:連接DE、DF,
  ∵點D、E分別是BC、AB的中點,∴DE∥AC,
  同理得 DF∥AB,
  ∴四邊形AEDF是平行四邊形,
  ∴AD與EF互相平分.

4逆定理

逆定理一:
如圖DE//BC,DE=BC/2,則D是AB的中點,E是AC的中點。
逆定理二:
如圖D是AB的中點,DE//BC,則E是AC的中點,DE=BC/2
【證法①】
取AC中點G ,聯結DG
則DG是三角形ABC的中位線
∴DG∥BC
又∵DE∥BC
∴DG和DE重合(過直線外一點,有且只有一條直線與已知直線重合)
(2)梯形中位線定理:梯形的中位線平行於兩底,並且等於兩底和的一半。
中位線是三角形與梯形中的一條重要線段,由於它的性質與線段的中點及平行線緊密相連,因此,它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應用。

5性質

梯形的中位線平行於兩底,並且等於兩底和的一半 .梯形
中位線的2倍乘高再除以二就等於梯形的面積,用符號表示是L.
L=(a+b)÷2
已知中位線長度和高,就能求出梯形的面積.
S梯=Lh
中位線在關於梯形的各種題型中都是一條得天獨厚的輔助線。

6證明

四邊形ABCD是梯形,AD∥BC,E、F分別是AB、CD邊上的中點,求證:EF∥AD,且EF=(AD+BC)/2
證明:
梯形中位線

  梯形中位線

連接AF並延長交BC的延長線於G。
∵AD∥BC
∴∠ADF=∠GCF
∵F是CD的中點
∴DF=FC
∵∠AFD與∠CFG是對頂角
∴∠AFD=∠CFG
∴△ADF≌△CGF(ASA)
∴AF=FG,AD=CG
∴F是AG的中點
∵E是AB的中點
∴EF是△ABG的中位線
∴EF∥BG,EF=BG/2=(BC+CG)/2
∴EF=(AD+BC)/2
∵AD∥BC
∴EF∥AD∥BC

7擴展

三角形三條中位線所構成的三角形是原三角形的相似圖形。
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