標籤:微分學微分中值定理高數

分中值定理是反映函數與導數之間聯繫的重要定理,也是微積分學的理論基礎,在許多方面它都有重要的作用,在進行一些公式推導與定理證明中都有很多應用。

1簡介

函數與其導數是兩個不同的的函數;而導數只是反映函數在一點的局部特徵;如果要了解函數在其定義域上
中值定理

  中值定理

的整體性態,就需要在導數及函數間建立起聯繫,微分中值定理就是這種作用。微分中值定理,包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是溝通導數值與函數值之間的橋樑,是利用導數的局部性質推斷函數的整體性質的工具。以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是一整個微分學的理論基礎。拉格朗日中值定理,建立了函數值與導數值之間的定量聯繫,因而可用中值定理通過導數去研究函數的性態;中值定理的主要作用在於理論分析和證明;同時由柯西中值定理還可導出一個求極限的洛必達法則。中值定理的應用主要是以中值定理為基礎,應用導數判斷函數上升,下降,取極值,凹形,凸形和拐點等項的重要性態。從而能把握住函數圖象的各種幾何特徵。在極值問題上也有重要的實際應用。
微積分學基本定理指出,求不定積分與求導函數互為逆運算[把上下限代入不定積分即得到積分值,而微分則是導數值與自變數增量的乘積],這也是兩種理論被統一成微積分學的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分學,但是在教學中,微分學一般會先被引入。

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極限
學習微積分學,首要的一步就是要理解到,「極限」引入的必要性:因為,代數是人們已經熟悉的概念,但是,代數無法處理「無限」的概念。所以為了要利用代數處理代表無限的量,於是精心構造了「極限」的概念。在「極限」的定義中,我們可以知道,這個概念繞過了用一個數除以0的麻煩,而引入了一個過程任意小量。就是說,除數不是零,所以有意義,同時,這個過程小量可以取任意小,只要滿足在Δ的區間內,都小於該任意小量,我們就說他的極限為該數——你可以認為這是投機取巧,但是,他的實用性證明,這樣的定義還算比較完善,給出了正確推論的可能。這個概念是成功的。
拉格朗日
中值定理是微積分學中的基本定理,由四部分組成。
內容是說一段連續光滑曲線中必然有一點,它的斜率與整段曲線平均斜率相同(嚴格的數學表達參見下文)。中值定理又稱為微分學基本定理,拉格朗日定理,拉格朗日中值定理,以及有限改變數定理[1]等。
內容
如果函數f(x)滿足
在閉區間[a,b]上連續;
在開區間(a,b)內可導,
那麼在(a,b)內至少有一點ξ(a<;ξ<b),使等式
f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)
成立。
柯西
如果函數f(x)及F(x)滿足
⑴在閉區間[a,b]上連續;  ⑵在開區間(a,b)內可導;
中值定理

  中值定理

⑶對任一x(a,b),F'(x)!=0
那麼在(a,b) 內至少有一點ξ,使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)
成立
也叫Cauchy中值定理。
設函數f(x),g(x)在[a,b]上連續,在(a、b)內可導,且g'(x)≠0(x∈(a,b)),則至少存在一點,ξ∈(a,b),使得 f'(ξ)/g'(ξ)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]成立。
若令u=f(x),v=g(x),這個形式可理解為參數方程,而[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]則是連接參數曲線的端點斜率,f'(ξ)/g'(ξ)表示曲線上某點處的切線斜率,在定理的條件下,可理解如下:用參數方程表示的曲線上至少有一點,它的切線平行於兩端點所在的弦,這一點Lagrange也具有,但是Cauchy中值定理除了適用y=f(x)表示的曲線,還適用於參數方程表示的曲線。 當柯西中值定理中的g(x)=x時,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
令F(x)=f(x)-[f(a)-f(b)]g(x)/[g(a)-g(b)]  ∵F(a)=F(b)=[f(a)g(b)-f(b)g(a)]/[g(b)-g(a)]  由羅爾定理知:存在ξ∈(a,b),使得F'(ξ)=0.  又知F'(x)=f'(x)-[f(a)-f(b)]g'(x)/[g(a)-g(b)]  故f'(ξ)-[f(a)-f(b)]g'(ξ)/[g(a)-g(b)]=0  即f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]  命題得證。

積分

f(x)在a到b上的積分等於(a-b)*f'(c),其中c滿足a<c<b.
積分中值定理: 若f(x) 在[a,b]上連續,則在(a,b)上至少存在一個點ε,滿足
中值定理

  中值定理

例1 證明
證明:
評註: 按原來的中值定理,只能得到「&sup3; 0」; 按改進后的中值定理,因為,所以得到「> 0」.
例2 假設 上連續且嚴格單減,試證對任何 有
證明:
=
因為,所以才得到「> 0」的不等式.
例3 假設 為[0,1]上的連續、非負、嚴格單減函數,且,證明
中值定理

  中值定理

證明:
(由於使用改進后的中值定理,所以才得到上面嚴格不等號的不等式)
由以上二個不等式,可以得到
二邊乘以,得
因為,由於 為[0,1]上的連續、非負,
所以
.
順便指出,陳文燈先生的「數學複習指南」中,關於單調性的定理也需要改進.
原書中的關於單調性的定理:
定理 假設[a,b]區間內可導,如果f'(x)>0(f'(x)<0),則函數f(x)在[a,b] 區間內單調增加(或單調減少).
應改成:
定理 假設在[a,b]上的連續函數在[a,b]區間內可導,如果f'(x)>=0(f'(x)<=0),則函數f(x)在[a,b] 區間內單調增加(或單調減少).(同濟版「高等數學」第五版上冊p144)
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