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中心極限定理

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1簡介

中心極限定理是研究獨立隨機變數和的極限分佈為正態分佈的問題。

2規範和的定義

設隨機變數序列X1,X2,、、、Xn,、、、相互獨立,均具有相同的數學期望與方差,且E(Xi)= Ui,D(Xi)=Ri^2>0,i=1,2,、、、,令:
Yn=X1+X2+、、、+Xn
Zn=〔Yn-E(Yn)〕/√D(Yn)=∑(Xi-Ui)/√∑Ri^2 (i=1,2、、、、n)
則稱隨機變數Zn為隨機變數序列X1,X2,、、、,Xn的規範和。
概述
中心極限定理
中心極限定理(central limit theorem)是概率論中討論隨機變數序列部分和的分佈漸近於正態分佈的一類定理。這組定理是數理統計學和誤差分析的理論基礎,指出了大量隨機變數近似服從正態分佈的條件。
它是概率論中最重要的一類定理,有廣泛的實際應用背景。在自然界與生產中,一些現象受到許多相互獨立的隨機因素的影響,如果每個因素所產生的影響都很微小時,總的影響可以看作是服從正態分佈的。中心極限定理就是從數學上證明了這一現象 。最早 的中心極限定理是討論n重伯努利試驗中,事件A出現的次數漸近於正態分佈的問題。1716年前後,A.棣莫弗對n重伯努利試驗中每次試驗事件A出現的概率為1/2的情況進行了討論,隨後,P.-S.拉普拉斯和A.M.李亞普諾夫等進行了推廣和改進。自P.萊維在1919~1925年系統地建立了特徵函數理論起,中心極限定理的研究得到了很快的發展,先後產生了普遍極限定理和局部極限定理等。極限定理是概率論的重要內容,也是數理統計學的基石之一,其理論成果也比較完美。長期以來,對於極限定理的研究所形成的概率論分析方法,影響著概率論的發展。同時新的極限理論問題也在實際中不斷產生。
中心極限定理:設從均值為μ、方差為σ^2;(有限)的任意一個總體中抽取樣本量為n的樣本,當n充分大時,樣本均值的抽樣分佈近似服從均值為μ、方差為σ^2/n的正態分佈。

3常用定理

拉普拉斯定理
棣莫佛-拉普拉斯(de Movire - Laplace)定理,即服從二項分佈的隨機變數序列的中心極限定理。它指出,參數為n, p的二項分佈以np為均值、np(1-p)為方差的正態分佈為極限。

4歷史

中心極限定理有著有趣的歷史。這個定理的第一版被法國數學家棣莫弗發現,他在1733年發表的卓越論文中使用正態分佈去估計大量拋擲硬幣出現正面次數的分佈。這個超越時代的成果險些被歷史遺忘,所幸著名法國數學家拉普拉斯在1812年發表的巨著Théorie Analytique des Probabilités中拯救了這個默默無名的理論.拉普拉斯擴展了棣莫弗的理論,指出二項分佈可用正態分佈逼近。但同棣莫弗一樣,拉普拉斯的發現在當時並未引起很大反響。直到十九世紀末中心極限定理的重要性才被世人所知。1901年,俄國數學家裡雅普諾夫用更普通的隨機變數定義中心極限定理並在數學上進行了精確的證明。如今,中心極限定理被認為是(非正式地)概率論中的首席定理。

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