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九服晷影演算法

標籤:方法

我國古代曆法從東漢《四分曆》開始,就有各節氣初日晷影長度和太陽去極度的觀測記錄,漏刻、晷影成為古代曆法的重要計算項目。隋朝劉焯發明二次等間距插值法之後,李淳風首先將二次插值法引入到漏刻計算中,由每氣初日的漏刻、晷影長度數求該氣各日的漏刻、晷影數。一行在編製《大衍曆》時,曾進行了大規模的天文測量,通過觀測知道,隨去極度變化的影長,又因地方而異,但同太陽的天頂距有固定的對應關係。一行在《大衍曆》中發明了求任何地方每日影長和去極度的計算方法,叫做「九服晷影」。

1簡介

《大衍曆》的九服晷影演算法及其正切函數表
測量方法
古人把陽城作為測影的標準地點,即所謂的地中。若NP為陽城的北極高度,S1、S2、S3……為陽城夏至、小暑、大暑等日的太陽上中天位置,則PS1、PS2、PS3……為陽城夏至、小暑、大暑……諸氣太陽的去極度,取a1=PS2-PS1、a2=PS3-PS2……,則a1、a2分別為陽城夏至到小暑、小暑到大暑的去極度差數,也是太陽天頂距的差數。且這個差數對任何地點的相應季節都是相等的。
設有某地北極高度為NP′,則夏至、小暑、大暑等日的太陽上中天位置為S′1、S′2、S′3……。顯然,有
a1=PS′2-PS′1,a2=PS′3-PS′2。
陽城夏至、小暑、大暑太陽天頂距為ZS1、ZS2、ZS3等,故
a1=ZS2-ZS1,a2=ZS3-ZS2,
同樣,有
a1=ZS′2-ZS′2,a2=ZS′3-ZS′2。

2正切函數表的建立

外國人的做法
在國外,大約920年左右,阿拉伯學者阿爾·巴坦尼(al-Battani,約858—929)根據影長與太陽仰角之間的關係,編製了0度—90度每隔一度時12尺竿子的影長表,這實際上是一個12ctga的數表。另一位阿拉伯學者阿爾·威發(Abul-Waha,940—998)在980年左右編成了正切和餘切函數表,每隔15度和10度給出一個值。他還首次引進了正割和餘割函數。一行和阿爾·巴坦尼差不多沿著相同的途徑編成正切和餘切函數表。一行用太陽天頂距,阿爾·巴坦尼用太陽仰角,兩者互為餘角,所以他們兩人的發現是相同的。而一行的正切函數表比阿爾·巴坦尼的餘切函數表早近兩百年,比阿爾·威發的正切表要早二百五十年。儘管一行的正切函數表只從0度到80度,誤差也相應大一些,但它畢竟是世界上最早的正切函數表。
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