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二元一次方程

標籤:方程組求方程的解

如果一個方程含有兩個未知數,並且所含未知項都為1次方,那麼這個整式方程就叫做二元一次方程,有無窮個解,若加條件限定有有限個解。二元一次方程組,則一般有一個解,有時沒有解,有時有無數個解。如一次函數中的平行,。二元一次方程的一般形式:ax+by+c=0其中a、b不為零。這就是二元一次方程的定義。二元一次方程組定義:兩個結合在一起的共含有兩個未知數的一次方程,叫二元一次方程組。

1簡介

含有相同未知數的兩個一次方程(或者一個二元一次方程和一元一次方程)聯立起來,就組成了二元一次方程組。例如右圖。
二元一次方程定義:一個含有兩個未知數,並且未知的指數都是1的整式方程,叫二元一次方程(linear equation of two unknowns)。 二元一次方程組定義:由兩個二元一次方程組成的方程組,叫二元一次方程組(system of linear equation of two unknowns)。 二元一次方程的解:使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值,叫做二元一次方程的解.二元一次方程組的解:二元一次方程組的兩個公共解,叫做二元一次方程組的解。 一般解法,消元:將方程組中的未知數個數由多化少,逐一解決.
二元一次方程組(y=1 x=1)

  二元一次方程組(y=1 x=1)

加減法:將方程組中的兩個等式用相加或者是相減的方法,抵消其中一個未知數,從而達到消元的目的,將方程組中的未知數個數由多化少,逐一解決.代入法:通過「代入」消去一個未知數,將方程組轉化為一元一次方程來解,這種解法叫做代入消元法,簡稱代入法。

2方程的解

使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的一組值,叫做二元一次方程的解。
二元一次方程組中各個方程的公共解,叫做一組二元一次方程組的解。
二元一次方程有無數個解,除非題目中有特殊條件。
但二元一次方程組有解,則有隻且有唯一的一組解,即x,y的值只有一個。也有特殊的,例如無數個解:
(3X+4Y)=12 (x-y)=2
(6X+8Y)=24 (x+y)=3
無解:
(3X+4Y)=18
(4Y+3X)=24
二元一次方程的整數解就是一個二元一次方程的解是個整數。

3解法

消元方法
「消元」是解二元一次方程的基本思路。所謂「消元」就是減少未知數的個數,使多元方程最終轉化為一元多次方程再解出未知數。這種將方程組中的未知數個數由多化少,逐一解決的解法,叫做消元解法。
消元方法一般分為:
代入消元法,簡稱:代入法(常用)
加減消元法,簡稱:加減法(常用)
順序消元法,(這種方法不常用)
整體代入法.(不常用)
以下是消元方法的舉例:
{x-y=3 ①
{3x-8y=4②
由①得x=y+3③
③代入②得
3(y+3)-8y=4
y=1
所以x=4
則:這個二元一次方程組的解為
{x=4
{y=1
實用方法
{13x+14y=41
{14x+13y=40
27x+27y=81
y-x=1
27y=54
y=2
x=1
y=2
把y=2代入(3)得
即x=1
所以:x=1,y=2
最後 x=1 , y=2, 解出來
特點:兩方程相加減,單個x或單個y,這樣就適用接下來的代入消元.
(二)換元法
是二元一次方程的另一種方法,就是說把一個方程用其他未知數表示,再帶入另一個方程中
如:
x+y=590
y+20=90%x
代入后就是:
x+90%x-20=590
例2:(x+5)+(y-4)=8
(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可寫為
m+n=8
m-n=4
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以x=1,y=6
特點:兩方程中都含有相同的代數式,如題中的x+5,y-4之類,換元后可簡化方程也是主要原因。
(三)參數換元
例3, x:y=1:4
5x+6y=29
令x=t,y=4t
方程2可寫為:5t+24t=29
29t=29
t=1
所以x=1,y=4
此外,還有代入法可做題。
x+y=5
3x+7y=-1
解:x=5-y
3(5-y)+7y=-1
15-3y+7y=-1
4y=-16
y=-4
得:{x=9
{y=-4
如果關於x,y的二元一次方程組3x-ay=16,的解是x=7你是否可以通過觀察、研究,用簡便方法求出下列關於
2x+by=15           y=1
x,y的方程組的解?
(1)方程組:3(x+y)-a(x-y)=16①
2(x+y)+b(x-y)=15②
(2)方程組:3(x-2y)÷2-a÷3y=16①
(x-2y)+b÷3y=15②
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