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二元一次方程組

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含有兩個未知數,並且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程。把兩個含有相同未知數的一次方程聯合在一起,那麼這兩個方程就組成了一個二元一次方程組。

1相關定義

把兩個含有相同未知數的一次方程聯合在一起,那麼這兩個方程就組成了一個二元一次方程組。
二元一次方程定義:一個方程含有兩個未知數,並且未知數的指數都是1的整式方程,叫二元一次方程。
二元一次方程組定義:兩個結合在一起的,且共含有兩個未知數的一次方程,叫二元一次方程組。
二元一次方程的解:使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值,叫做二元一次方程的解。
二元一次方程組的解:一般的,二元一次方程組的兩個二元一次方程的公共解,叫做二元一次方程組的解。
一般解法,代入消元法:將方程組中的未知數個數由多化少,逐一解決。

2解法

換元法
例2,(x+5)+(y-4)=8
(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可寫為
m+n=8
m-n=4
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以x=1,y=6
特點:兩方程中都含有相同的代數式,如題中的x+5,y-4之類,換元后可簡化方程也是主要原因。
圖像法
二元一次方程組還可以用做圖像的方法,即將相應二元一次方程改寫成一次函數的表達式在同坐標系內畫出圖像,兩條直線的交點坐標即二元一次方程組的解。
一般地,使二元一次方程組的兩個方程左、右兩邊的值都相等的兩個未知數的值,叫做二元一次方程組的解。求方程組的解的過程,叫做解方程組。一般來說,一個二元一次方程有無數個解,而二元一次方程組的解有以下三種情況:
有無數組解
如方程組x+y=6①
2x+2y=12②
因為這兩個方程實際上是一個方程(亦稱作「方程有兩個相等的實數根」),所以此類方程組有無數組解。
注意
二元一次方程組不一定都是由兩個二元一次方程合在一起組成的!
也可以由一個或多個二元一次方程單獨組成。
重點:一元一次、一元二次方程,二元一次方程組的解法;方程的有關應用題(特別是行程、工程問題)
內容提要:
列方程(組)解應用題
一概述
列方程(組)解應用題是中學數學聯繫實際的一個重要方面。其具體步驟是:
⑴審題。理解題意。弄清問題中已知量是什麼,未知量是什麼,問題給出和涉及的相等關係是什麼。
⑵設元(未知數)。①直接未知數②間接未知數(往往二者兼用)。一般來說,未知數越多,方程越易列,但越難解。
⑶用含未知數的代數式表示相關的量。
⑷尋找相等關係(有的由題目給出,有的由該問題所涉及的等量關係給出),列方程。一般地,未知數個數與方程個數是相同的。
⑸解方程及檢驗。
⑹答案。
綜上所述,列方程(組)解應用題實質是先把實際問題轉化為數學問題(設元、列方程),在由數學問題的解決而導致實際問題的解決(列方程、寫出答案)。在這個過程中,列方程起著承前啟後的作用。因此,列方程是解應用題的關鍵。
二常用的相等關係
1. 行程問題(勻速運動)
基本關係:s=vt
⑴相遇問題(同時出發):
+ = ;
⑵追及問題(同時出發):
若甲出發t小時后,乙才出發,而後在B處追上甲,則
⑶水中航行:;
2. 配料問題:溶質=溶液×濃度
溶液=溶質+溶劑
3.增長率問題
4.工程問題
基本關係:工作量=工作效率×工作時間(常把工作量看成單位「1」)。
5.幾何問題
常用勾股定理,幾何體的面積、體積公式,相似形及有關比例性質等。
三注意語言與解析式的互化
如,「多」、「少」、「增加了」、「增加為(到)」、「同時」、「擴大為(到)」、「擴大了」、……
又如,一個三位數,百位數字為a,十位數字為b,個位數字為c,則這個三位數為:100a+10b+c,而不是abc。
四注意從語言敘述中寫出相等關係。
如,x比y大3,則x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如,x與y的差為3,則x-y=3。五注意單位換算
如,「小時」「分鐘」的換算;s、v、t單位的一致等。

4區別一元二次方程

1.定義及一般形式:
2.解法:⑴直接開平方法(注意特徵)
⑵配方法(注意步驟—推倒求根公式)
⑶公式法:
⑷因式分解法(特徵:左邊=0)
3.根的判別式:
4.根與係數頂的關係:
逆定理:若 ,則以 為根的一元二次方程是:。
5.常用等式:
⑵基本思想:
⑶基本解法:①乘方法(注意技巧!!)②換元法(例,)⑷驗根及方法

5知識梳理

1.二元一次方程(組)及解的應用:注意:方程(組)的解適合於方程,任何一個二元一次方程都有無數個解,有時考查其整數解的情況,還經常應用方程組的概念巧求代數式的值。
2.解二元一次方程組:解方程組的基本思想是消元,常用方法是代入消元和加減消元,轉化思想和整體思想也是本章考查重點。
3.二元一次方程組的應用:列二元一次方程組的關鍵是能正確分析出題目中的等量關係,題目內容往往與生活實際相貼近,與社會關係的熱點問題相聯繫,請平時注意搜集、觀察與分析。
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