標籤:線性代數

設S是一個非空集合,R是關於S的元素的一個條件。如果對S中任意一個有序元素對(a,b),我們總能確定a與b是否滿足條件R,就稱R是S的一個關係(relation).如果a與b滿足條件R,則稱a與b滿足條件R,則稱a與b有關係R,記做aRb;否則稱a與b無關係R。關係R也成為二元關係。

1定義

集合 X 與集合 Y 上的二元關係是 R=(X, Y, G(R)) 當中 G(R),稱為R 的圖,是笛卡兒積 X × Y的子集。若 (x,y) ∈ G(R) 則稱 x 是 R-關係於 y 並記作 xRy 或 R(x,y)。
但經常地我們把關係與其圖等價起來,即若 R ⊆ X × Y 則 R 是一個關係。
例子:有四件物件 {球,糖,車,槍} 及四個人 {甲,乙,丙,丁}。 若甲擁有球,乙擁有糖,及丁擁有車-即無人有槍及丙一無所有-則二元關係"為...擁有"便是
R=({球,糖,車,槍}, {甲,乙,丙,丁}, {(球,甲), (糖,乙), (車,丁)})。
其中 R 的首項是物件的集合,次項是人的集合,而末項是由有序對(物件,主人)組成的集合。比如有序對(球,甲)以球R甲 表示,代表球為甲擁有。
不同的關係可以有相同的圖。以下的關係 ({球,糖,車,槍}, {甲,乙,丁}, {(球,甲), (糖,乙), (車,丁)} 中人人皆是物主,所以與 R 不同,但兩者有相同的圖。
話雖如此,我們很多時候索性把R 定義為 G(R) 而 "有序對 (x,y) ∈ G(R)" 亦即是 "(x,y) ∈ R"。
二元關係可看作成二元函數,這種二元函數把輸入元 x ∈ X 及 y ∈ Y 視為獨立變數並求真偽值(包括「有序對(x, y) 是或非二元關係中的一元。」此一問題)。
若 X=Y,則稱 R為 X上的關係。

2特殊的關係

設<math>A</math>是一個集合,則
空集<math>\emptyset</math>稱作<math>A</math>上的空關係
<math>E_ = A \times A</math>稱作<math>A</math>上的全域關係
<math>I_ = \{(x, x)|x \in A\}</math>稱作<math>A</math>上的恆等關係

3性質

關係的性質主要有以下五種:自反性,反自反性,對稱性,反對稱性和傳遞性。
設R為A(A是集合)的關係,
(1)若"x(x∈A→ <x,x>∈R), 則稱R在A上是自反的。
(2)若"x(x∈A→ <x,x>&Iuml;R), 則稱R在A上是反自反的。
(3)若"x"y(x,y∈A∧<x,y>∈R&reg;<y,x>∈R),則稱R是為A上對稱的關係。
(4)若"x"y(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R&reg;x=y),則稱R是為A上反對稱的關係。
(5)若"x"y"z(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R&reg;<x,z>∈R),則稱R是為A上傳遞的關係。
例1:
設A={1,2,3},R1,R2,和R3是A上的關係,其中
R1={<1,1><2,2>}
R2={<1,1><2,2><3,3><1,2>}
R3={<1,3>}
則R2是自反的,R3是反自反的,R1既不是自反的也不是反自反的。
例2:
設A={1,2,3},R1,R2,R3和R4是A上的關係,期中
R1={<1,1><2,2>}
R2={<1,1><1,2><2,1>}
R3={<1,2><1,3>}
R4={<1,2><2,1><1,3>}
則R1既是對稱的也是反對稱的。R2是對稱的但不是反對稱的。R3是反對稱的但不是
對稱的。R4既不是對稱的也不是反對稱的。
例3:
設A={1,2,3},R1,R2,和R3是A上的關係,期中
R1={<1,1><2,2>}
R2={<1,2><2,3>}
R3={<1,3>}
則R2和R3是A上的傳遞關係,R1不是A上的傳遞關係。
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