標籤: 暫無標籤

目錄

1簡介

在數論中,特別是在同餘理論里,二次互反律(quadratic reciprocity law)是一個用於判別二次剩餘,即二次同餘方程之整數解的存在性的定律。
二次互反律是經典數論中最出色的定理之一。二次互反律涉及到平方剩餘的概念。 設a,b是兩個非零整數,我們定義雅克比符號(a/b):如果存在整數x, 使得b整除(x^2-a),那麼就記(a/b)=1; 否則就記(a/b)=-1。 在b是素數時這個符號也叫做勒讓德符號。
高斯二次互反律:
設p和q為不同的奇素數,則(p/q)(q/p)=( − 1)^[(p − 1)(q − 1) / 4]
二次互反律漂亮地解決了勒讓德符號的計算問題,從而在實際上解決了二次剩餘的判別問題。高斯在1796年作出第一個嚴格的證明,隨後他又發現了另外七個不同的證明。高斯把二次互反律譽為算術理論中的寶石,是一個黃金定律。有人說:「二次互反律無疑是數論中最重要的工具,並且在數論的發展史中處於中心地位。」
歐拉和勒讓德都曾經提出過二次互反律的猜想。但第一個嚴格的證明是由高斯在1796年作出的,隨後他又發現了另外七個不同的證明。在《算數研究》一書和相關論文中,高斯將其稱為「基石」。私下裡高斯把二次互反律譽為算術理論中的寶石,是一個黃金定律。
高斯之後雅可比、柯西、劉維爾、克羅內克、弗洛貝尼烏斯等也相繼給出了新的證明。至今,二次互反律已有超過200個不同的的證明。二次互反律可以推廣到更高次的情況,如三次互反律等等。
二次互反律被稱為「數論之釀母」, 在數論中處於極高的地位。 後來希爾伯特、塞爾等數學家將它推廣到更一般的情形。
二次互反律的一個特殊情形:2永遠是8n±1型質數的平方剩餘,永遠是8n±3型質數的非平方剩餘。
證明:(4n)!(mod8n+1)≡(2*4*6*8*……*(4n))*(1*3*5*7*……*(4n-1))
≡(2^(2n)*(1*2*3*4*……*(2n)))*((-8n)*(-8n-2)*……*(-4n-2))
≡(2^(2n)*(1*2*3*4*……*(2n)))*((- 2)^(2n)*((4n)*(4n-1)*……*(2n+1)))
≡2^(4n)*(4n)!
∴當8n+1是質數時,必有2^(4n)≡1(mod8n+1),
∴2永遠是8n+1型質數的平方剩餘,其餘的可類似證明。
二次互反律揭示了方程 可解和 可解的簡單關係。運用二次互反律可以將模數較大的二次剩餘判別問題轉為模數較小的判別問題,並最後歸結為較少的幾個情況,從而在實際上解決了二次剩餘的判別問題。然而,二次互反律只能提供二次剩餘的存在性,對於二次同餘方程的具體求解並沒有實際幫助。

相關評論

同義詞:暫無同義詞