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形為y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數)的函數

二次函數y=ax^2+bx+c
在數學中,二次函數(quadratic function)表示形為y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數)的多項式函數。二次函數的圖像是一條主軸平行於y軸的拋物線。
二次函數表達式ax2 + bx + c的定義是一個二次多項式,因為x的最高次數是2。
如果令二次函數的值等於零,則可得一個一元二次方程。該方程的解稱為方程的根或函數的零點。

1 二次函數 -定義與定義表達式


 
二次函數二次函數圖像
一般地,自變數x和因變數y之間存在如下關係:
  一般式:y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數),則稱y為x的二次函數。
  頂點式:y=a(x-h)^2+k
  交點式(與x軸):y=a(x-x1)(x-x2)
  重要知識:(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。)
  二次函數表達式的右邊通常為二次。
  x是自變數,y是x的二次函數
  x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

2 二次函數 -二次函數的圖像

 
二次函數不同的二次函數圖像
     
      在平面直角坐標系中作出二次函數y=x²的圖像,
  可以看出,二次函數的圖像是一條永無止境的拋物線。

3 二次函數 -拋物線的性質

  1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
  對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
  特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
  2.拋物線有一個頂點P,坐標為P ( -b/2a ,(4ac-b²)/4a )
  當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ= b²-4ac=0時,P在x軸上。
  3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
  當a>0時,拋物線開口向上;當a<0時,拋物線開口向下。
  |a|越大,則拋物線的開口越小。
  4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
  當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左側; 因為若對稱軸在左邊則對稱軸小於0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大於0,所以a、b要同號
  當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右側。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0,也就是-b/2a>0,所以b/2a要小於0,所以a、b要異號
  事實上,b有其自身的幾何意義:拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數解析式(一次函數)的斜率k的值。可通過對二次函數求導得到。
  5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
  拋物線與y軸交於(0,c)
  6.拋物線與x軸交點個數
  Δ= b²-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。
  Δ= b²-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。

  Δ= b²-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x= -b±√b²-4ac 的值的相反數,乘上虛數i,整個式子除以2a)
  當a>0時,函數在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a;在{x|x<-b/2a}上是減函數,在{x|x>-b/2a}上是增函數;拋物線的開口向上;函數的值域是{y|y≥4ac-b²/4a}相反不變 ,a<0時,函數在x= -b/2a處取得最大值f(-b/2a)=4ac-b²/4a;在{x|x<-b/2a}上是增函數,在{x|x>-b/2a}上是減函數;拋物線開口方向向下。
  當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸,這時,函數是偶函數,解析式變形為y=ax²+c(a≠0)
  7.定義域:R
  值域:(對應解析式,且只討論a大於0的情況,a小於0的情況請讀者自行推斷)①[(4ac-b²)/4a,正無窮);②[t,正無窮)
  奇偶性:偶函數
  周期性:無
  解析式:
  ①y=ax²+bx+c[一般式]
  ⑴a≠0
  ⑵a>0,則拋物線開口朝上;a<0,則拋物線開口朝下;
  ⑶極值點:(-b/2a,(4ac-b²)/4a);
  ⑷Δ=b²-4ac,
  Δ>0,圖象與x軸交於兩點:
  ([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);
  Δ=0,圖象與x軸交於一點:
  (-b/2a,0);
  Δ<0,圖象與x軸無交點;
  ②y=a(x-h)²+t[配方式、頂點式]
  此時,對應極值點為(h,t),其中h=-b/2a,t=(4ac-b²)/4a);
  ③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式、兩點式]
  a≠0,此時,x1、x2即為函數與X軸的兩個交點的橫坐標,將X、Y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連用)。

4 二次函數 -二次函數與一元二次方程

  特別地,二次函數(以下稱函數)y=ax²+bx+c,
  當y=0時,二次函數為關於x的一元二次方程(以下稱方程),
  即ax²+bx+c=0
  此時,函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。
  函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
  1.二次函數y=ax²,y=a(x-h)²,y=a(x-h)² +k,y=ax²+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點坐標及對稱軸如下表:
  解析式
  y=ax²
  y=ax²+K
  y=a(x-h)²
  y=a(x-h)²+k
  y=ax²+bx+c
  
  頂點坐標
  (0,0)
  (0,K)
  (h,0)
  (h,k)
  (-b/2a,sqrt[4ac-b²]/4a)
  
  對 稱 軸
  x=0
  x=0
  x=h
  x=h
  x=-b/2a
  
  當h>0時,y=a(x-h)²的圖象可由拋物線y=ax²向右平行移動h個單位得到,
  當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.
  當h>0,k>0時,將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y=a(x-h)²+k的圖象;
  當h>0,k<0時,將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象;
  當h<0,k>0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象;
  當h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象;
  因此,研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)²+k的形式,可確定其頂點坐標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
  2.拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點坐標是(-b/2a,[4ac-b²]/4a).
  3.拋物線y=ax²+bx+c(a≠0),若a>0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而減小;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而增大.若a<0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而增大;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而減小.
  4.拋物線y=ax²+bx+c的圖象與坐標軸的交點:
  (1)圖象與y軸一定相交,交點坐標為(0,c);
  (2)當△=b²-4ac>0,圖象與x軸交於兩點A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0
  (a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x₂-x₁| 另外,拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×(-b/2a)-A |(A為其中一點的橫坐標)
  當△=0.圖象與x軸只有一個交點;
  當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數時,都有y<0.
  5.拋物線y=ax²+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當x= -b/2a時,y最小(大)值=(4ac-b²)/4a.
  頂點的橫坐標,是取得最值時的自變數值,頂點的縱坐標,是最值的取值.
  6.用待定係數法求二次函數的解析式
  (1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時,可設解析式為一般形式:
  y=ax²+bx+c(a≠0).
  (2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸或極大(小)值時,可設解析式為頂點式:y=a(x-h)²+k(a≠0).
  (3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時,可設解析式為兩根式:y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).
  7.二次函數知識很容易與其它知識綜合應用,而形成較為複雜的綜合題目。因此,以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現.

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