標籤:概率論

二項分佈即重複n次的伯努利試驗。在每次試驗中只有兩種可能的結果,而且是互相對立的,是獨立的,與其它各次試驗結果無關,結果事件發生的概率在整個系列試驗中保持不變,則這一系列試驗稱為伯努力試驗。

1簡介

醫學定義
在醫學領域中,有一些隨機事件是只具有兩種互斥結果的離散型隨機事件,稱為二項分類變數(dichotomous variable),如對病人治療結果的有效與無效,某種化驗結果的陽性與陰性,接觸某傳染源的感染與未感染等。二項分佈(binomial distribution)就是對這類只具有兩種互斥結果的離散型隨機事件的規律性進行描述的一種概率分佈。
考慮只有兩種可能結果的隨機試驗,當成功的概率(π)是恆定的
二項分佈公式

  二項分佈公式

,且各次試驗相互獨立,這種試驗在統計學上稱為伯努利試驗(Bernoulli trial)。如果進行n次伯努利試驗,取得成功次數為X(X=0,1,…,n)的概率可用下面的二項分佈概率公式來描述:
P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X)
式中的n為獨立的伯努利試驗次數,π為成功的概率,(1-π)為失敗的概率,X為在n次貝努里試驗中出現成功的次數,表示在n次試驗中出現X的各種組合情況,在此稱為二項係數(binomial coefficient)。
所以的含義為:含量為n的樣本中,恰好有X例陽性數的概率。

2概念

二項分佈(Binomial Distribution),即重複n次的伯努利試驗(Bernoulli Experiment),用ξ表示隨機試驗的結果。
如果事件發生的概率是P,則不發生的概率q=1-p,N次獨立重
二項分佈公式

  二項分佈公式

複試驗中發生K次的概率是
P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k), 其中C(n, k) = n!/(k! * (n-k)!)
注意!:第二個等號後面的括弧里的是上標,表示的是方冪。
那麼就說這個屬於二項分佈。.
其中P稱為成功概率。
記作ξ~B(n,p)
期望:Eξ=np
方差:Dξ=npq
證明:由二項式分佈的定義知,隨機變數X是n重伯努力試驗中事件A發生的次數,且在每次試驗中A發生的概率為p.因此,可以將二項式分佈分解成n個相互獨立且以p為參數的(0-1)分佈隨機變數之和.
設隨機變數X(k)(k=1,2,3...n)服從(0-1)分佈,則X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n).
因X(k)相互獨立,所以期望:E(X)=E[X(1)+X(2)+X(3)....X(n)]=np.
方差:D(X)=D[X(1)+X(2)+X(3)....X(n)]=np(1-p).
證畢.
以上證明摘自高等教育出版社《概率論與數理統計》第四版
如果
1.在每次試驗中只有兩種可能的結果,而且是互相對立的;
2.每次實驗是獨立的,與其它各次試驗結果無關;
3.結果事件發生的概率在整個系列試驗中保持不變,則這一系列試驗稱為伯努力試驗。
在這試驗中,事件發生的次數為一隨機事件,它服從二次分佈.二項分佈可
二項分佈

  二項分佈

以用於可靠性試驗。可靠性試驗常常是投入n個相同的式樣進行試驗T小時,而只允許k個式樣失敗,應用二項分佈可以得到通過試驗的概率.
若某事件概率為p,現重複試驗n次,該事件發生k次的概率為:P=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k).C(n,k)表示組合數,即從n個事物中拿出k個的方法數。

3應用條件

1.各觀察單位只能具有相互對立的一種結果,如陽性或陰性,生存或死亡等,屬於兩分類資料。
2.已知發生某一結果(陽性)的概率為π,其對立結果的概率為1-π,實際工作中要求π是從大量觀察中獲得比較穩定的數值。
二項分佈公式

  二項分佈公式

3.n次試驗在相同條件下進行,且各個觀察單位的觀察結果相互獨立,即每個觀察單位的觀察結果不會影響到其他觀察單位的結果。如要求疾病無傳染性、無家族性等。

4性質

1.二項分佈的均數和標準差在二項分佈資料中,當π和n已知時,它的均數μ及其標準差σ可由式(7.3)和(7.4)算出。
μ=nπ(7.3)
σ=(7.4)
若均數和標準差不用絕對數表示,而是用率表示時,即對式(7.
二項分佈公式

  二項分佈公式

3)和(7.4)分別除以n,得
μp=π(7.5)
σp=(7.6)
σp是樣本率的標準誤的理論值,當π未知時,常用樣本率p作為π的估計值,式(7.6)變為:
sp= (7.7)
2.二項分佈的累計概率(cumulative probability)常用的有左側累計和右側累計兩種方法。從陽性率為π的總體中隨機抽取含量為n的樣本,則
(1)最多有k例陽性的概率
(7.8)
(2)最少有k例陽性的概率
(7.9)
其中,X=0,1,2,…,k,…,n。
3.二項分佈的圖形已知π和n,就能按公式計算X=0,1,…,n時的P(X)值。以X為橫坐標,以P(X)為縱坐標作圖,即可繪出二項分佈的圖形,如圖7.1,給出了p=0.5和 p=0.3時不同n值對應的二項分布圖。
二項分佈的形狀取決於π和n的大小,高峰在m=np處。當p接近0.5時,圖形是對稱的;p離0.5愈遠,對稱性愈差,但隨著n的增大,分佈趨於對稱。當n→∞時,只要p不太靠近0或1,特別是當nP和n(1-P)都大於5時,二項分佈近似於正態分佈。關於二項分佈近似為正態分佈的判定條件,不同著述中存在爭議,在甘怡群《心理與行為科學統計》中:當np>10且n(1-p)>10時,二項分佈可以近似為正態分佈(第72頁);在張厚粲《現代心理與教育統計學》中:當p(1-p)且n(1-p)≥5時,二項分佈可以近似為正態分佈(第178頁)。
π=0.5時,不同n值對應的二項分佈
π=0.3時, 不同n值對應的二項分佈
圖7.1二項分佈示意

5分布區別

兩點分佈又稱伯努利分佈
兩點分佈的分佈列就是
x
0
1
P
1-p
p
不論題目有什麼區別,只有兩種可能,要麼是這種結果要麼是那種結果,通俗點,要麼成功要麼失敗
而二項分佈的可能結果是不確定的甚至是沒有盡頭的,
列一個二項分佈的分佈列就是
X 0 1 2 ……… n
P C(0)(n)·(1-p)^n C(1)(n)·p·(1-p)^(n-1) ……C(n)(n)·p^n·(1-p)^0
也就是說當n=1時,這個特殊二項分佈就會變成兩點分佈,
即兩點分佈是一種特殊的二項分佈
像其他地方說的二項分佈是兩點分佈的多重實驗也不無道理,因為兩者都是獨立的重複實驗,只不過次數不同罷了
E(n) = np, var(n) = np(1-p) (n是實驗次數,p是每次實驗的概率)
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