1概述

一般的五次方程沒有統一的公式解存在。 c1c2clone於2009年寒假在山東省濰坊市市委黨校跟江西省數學會副會長陶平生先生討論五次方程是否有公式解的時候,陶平生先生否定有統一的公式解一說。
陶平生先生認為:群論是解決該問題的一種很好的方法。
其實,在我們的人教B版高中數學課本《選修3-4對稱與群》里,已經說明:
第一,1824年:挪威的一位年輕人阿貝爾證明了:五次代數方程通用的求根公式是不存在的;
第二,伽羅瓦證得了5次及其以上方程沒有統一的求根公式;
第三,伽羅瓦能給出恰好有H=Sn的方程,而在群論裡面很容易證明當n≥5時,Sn不是一個可解群 。

2歷史

第二個版本
1770年:拉格朗日詳細考察了人們求解2、3、4次方程的方法,首次意識到5次及其以上方程求根公式可能不存在,雖然他未能證明自己的斷言,但是,他提出的根的置換理論揭示了問題的本質,也是這個問題最後解決所出現的曙光。
1801年:高斯證明分圓多項式-1+x^p(p為素數)可以用根式求解,這使得人們意識到,至少有一部分高次方程是可以根式求解的。
1824年:挪威的一位年輕人阿貝爾證明了:五次代數方程通用的求根公式是不存在的。當然,結合高斯關於分圓多項式的結論,我們知道,接下來的問題是解決,如何判定具體的代數方程是否可根式解。這個問題阿貝爾並沒有回答。
1830年:法國數學天才伽羅瓦徹底解決了5次方程何時可以根式解的問題。可是他的結果已知沒有能夠發表。
1846年:伽羅瓦死後14年,他的這一偉大成果發表,其中首次提出了群的概念,並最終利用群論解決了這個世界難題。
1870年:法國數學家若爾當(C.Jordan,1838-1922)根據伽羅瓦的思想撰寫了《論置換與代數方程》一書,人們才真正領略了伽羅瓦的偉大思想。
源引:普通高中課程標準實驗教科書-數學-選修3-4-對稱與群-人教B版
4.4 群與代數方程根式可解性

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