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乘法適合交換律的環。對交換環只有「理想」、「零化子」、「零因子」、「極小(大)條件」等定義,而不區分「左」「右」。無零因子的交換環叫做整環。數環與域F上的多項式環F【x】都是整環。整環不一定有單位元素,如偶數環。整環上的多項式環仍為整環。

 

1 交換環 -正文

 
  設R為有正則元的交換環。如果SR中一些正則元作成的乘法封閉集合(即S中任二元素之積仍在S中),那麼R可擴張成一個有單位元素的交換環

交換環

叫做R關於S的分式環,使S的元素在垪中恆有逆元素。特別地,當SR中所有正則元作成的子集時(此時S自然地成為乘法封閉集合),垪 就簡稱為R的分式環。又如果R是整環,那麼R的分式環必為域,特稱為R的分式域(或商域)。如整數環的分式域便是有理數域。
  局部化  設R是一個有單位元素e的交換環。它一定含有極大理想。所謂極大理想,是指R的一個理想N,滿足條件:N<R,且NR之間不能再介入R的其他理想。R的一個理想N是極大理想,必要而且只要,剩餘類環R/N是域。當R只含一個極大理想時,就稱之為局部環;當R只含有限多個極大理想時,就稱之為半局部環。設PR的一個質理想,SPR中的余集,在交換環中視交換環交換環為同一元素,必要而且只要,有交換環使交換環。於是可把S-1R定義成一個交換環,特記為Rp,並稱為RP處的局部化。它是局部環並以PRp為惟一的極大理想。如果對每個環R來說,R具有某個性質,必要而且只要對R的每個質理想P,Rp恆具有該性質,那麼環的該性質稱為局部性質。若要檢驗某環R是否具有某個局部性質,則只要檢驗每個Rp即可。由於RpR的結構簡單,因此由局部特性來掌握整體特性是一個有效的手段。
  高斯環  若R中有α=bс,則b稱為α的一個因子,自然,с也是α的一個因子。或者α稱為b的倍元,也稱為b整除α,記為b|α。顯然單位元素e是任意元素的因子,零元素θ是任意元素的倍元。R中一個有逆元素的元素,也稱為R中的一個單位。例如,單位元素e就是一個單位;在整數環中,1與-1是僅有的兩個單位;在多項式環Fx】中,一個元素為單位,必要而且只要,它是零次多項式(即域F中的非零元素)。環R中兩個非零元素αb如果能互相整除,即αbb|α,那麼就說αb相通。兩個非零元素αb是相通的,必要而且只要,有R中的單位δ使α=bδ。如果非零元素α=bс,且b與с均非單位,那麼就說bα的一個真因子(自然,с也是α的一個真因子)。如果非零元素α不是單位,且無真因子,那麼就說α是一個不可約元素。如果非零元素p不是單位,且具有「當pαb時,必有p|αp|b」之性質,那麼就說p是一個質元素。R中的質元素恆為不可約元素,但是反過來說就未必正確。例如在數環交換環中,2是不可約元素但非質元素,因有交換環,而交換環。環R中的元素с若既是α的因子又是b的因子,則с稱為αb的一個公因子。如果αb的一個公因子d具有「αb的任意公因子恆為d的因子」之性質,那麼就說dαb的一個最高公因子。一般說來,兩個元素未必有最高公因子。例如在上述的環中,6與(交換環)就沒有最高公因子。所謂高斯環或惟一分解整環,是指有e的整環R,其中每個非單位αθ均可惟一地分解成一些質元素pi的乘積。所謂惟一性,意即若交換環交換環,其中諸piqj均為質元素,則必m=n,且可排因子的次序使piqi相通(i=1,2,…,n)。有e的整環R是高斯環,必要而且只要滿足下列條件①與②或①與③:
  ①R中真因子的降鏈α1,α2,…必止於有限處,即從任意非零非單位α1開始,若α1有真因子α2,α2又有真因子α3,如此下去,到某步必得出一個不可約元素,設其為αn,於是真因子的降鏈α1,α2,…即到αn為止。
  ②R中的不可約元素恆為質元素。
  ③R中任意兩個不全為零的元素恆有最高公因子。
  若R為高斯環,則Rx】亦然。於是域F上的多項式環Fx1,x2,…,xn】恆為高斯環。如果有e的整環R的理想恆為主理想(即由一個元素生成的理想),那麼就說R是一個主理想環。有e的整環R是一個主理想環,必要而且只要滿足上述條件①與如下的條件④:R中任意不全為零的αb恆有一個形式上為αs+bt的最高公因子。因此,主理想環恆為高斯環,但是反之則未必然。設R為有e的整環。如果對R中每個非零元α,恆有非負整數‖α‖與之相應,並對R中任意αb(αθ),恆有qrR使b=+r,且r=θ或者‖r‖<‖α‖,那麼就說R是一個歐氏環。歐氏環恆為主理想環,但是反之則未必然。整數環I為歐氏環,從而為主理想環,但是多項式環Ix】僅為高斯環,而非主理想環。
  諾特環  一個交換環R的所有冪零元素構成R的一個理想K,稱為R的克德根或冪零根。如果一個交換環除冪零元素外,不再含其他的零因子,便稱為準整環。整環顯然為準整環。設R是一個交換環。R的一個理想P為素理想,必要而且只要R/P為整環;R的一個理想Q叫做准素理想,如果R/Q為準整環;R的一個理想A叫做可分解的,如果有R的理想BC,使A<BA<CA=BC,否則便說A是不可分解的;R的素理想恆為不可分解的;當R為諾特環(即其理想滿足極大條件)時,R的不可分解的理想恆為準素理想,R的克德根必為冪零理想;當R為準整環時,R的克德根必為素理想。設Q為交換環R的任意一個準素理想,於是垪 =R/Q為準整環,其克德根噖為素理想,從而交換環為整環。由R~垪,及垪~交換環易知,R交換環,設此同態映射之核為P,則由R/P交換環知,PR的一個含Q的素理想,它是由Q所惟一確定的,叫做與Q相伴的素理想,而Q則叫做屬於P的一個準素理想。屬於同一個素理想P的兩個准素理想的交仍為屬於P的一個準素理想。由此便可引出諾特環中著名的交的惟一分解定理:在諾特環中,每個理想A均可分解為有限個准素理想Q1,Q2,…,Qr的交,使與諸Qi相伴的素理想Pi是彼此不同的,即此交不能夠縮短,記為交換環又若A再分解為諸准素理想Q壟的不能夠縮短的交交換環,則必有r=s,且可排諸Q壟的次序使與Q壟相伴的素理想恰為Pi(i=1,2,…,r)。關於諾特環還有希爾伯特定理:如果R是有e的諾特環,則多項式環Rx】亦然。
  (A.)E.諾特於1921年引進一般的滿足極大條件的交換環而研究其理想論,這是由於代數幾何的發展而需要研究多項式環的理想理論,後者的主要問題是判斷一個多項式ƒ是否屬於一個給定的理想交換環。此判斷方法是通過把理想分解成准素分支而實現的。
  維數  設交換環是環R中的素理想鏈,s稱為此鏈的長度,R中所有的素理想鏈的長度的最大值(可能是無限)叫做R的維數,記為dimR。當R為諾特局部環以M為其惟一極大理想時,對每個屬於M的准素理想Q,以δ(Q)表生成Q的最少元數,再以δ(R)表諸δ(Q)中的最小值,則有dimR=δ(R)。又若M恰可由δ(R)個元素生成,則稱R為正則諾特局部環。
  戴德金環  設R為有e的整環,F為其分式域,而且R<F(即R非域)。F的一個子集X如果滿足:①XF作為加法群的一個子群;②當αR,xX時,有αxX(即RXX);③有βFβθ使βXR,則說XR的一個分式理想。環R的理想顯然均為R的分式理想,也可叫做R的整理想。F中的一個元素δ如果是R上首項係數為e(一般不寫出來)的多項式交換環的根,則說δ是R上的一個整元素。如果在F中,R上的整元素恆在R中,則說R是整閉的,如同R的兩個整理想AB可以相乘而得積AB仍為R的整理想一樣,可以定義R的任意兩個分式理想XY的乘法,而且積XY仍為R的一個分式理想。易知此乘法適合交換律與結合律,又R自己作為一個整理想(自然也是R的一個分式理想)與R的任何分式理想X相乘時,由於R有e,就恆有RX=X,故R的全部分式理想在乘法下構成一個有單位元素的交換半群,特別,其中所有非零分式理想又構成一個有單位元素的交換子半群。如果這個子半群還是一個子群,就說R容許理想理論。有e的整環R如果滿足下列條件就叫做一個戴德金環:R的每個非零理想A恆可表為R的一些素理想Pi的乘積,A=交換環,且除諸Pi的次序外,此表法是惟一的。
  戴德金環的主要定理有兩個。其一,有e的整環R為戴德金環,必要而且只要R滿足下列三組等價條件之一:①R容許理想理論。②對R的非零(整)理想AB只要AB就有(整)理想C使A=BC;每個非零真(整)理想恆可惟一地表為有限個極大(整)理想之積。③R為諾特環;R是整閉的;R的非零素理想恆為極大理想。
  其二,設R為有e的整環,F為其分式域,EF的有限擴張(見域),ΩE中所有在R上為整的元素作成的環。如果R為戴德金環,則Ω亦然。例如整數環R就是一個戴德金環。若E是有理數域F(即R的分式域)的一個有限擴張域,則E是一個代數數域,其中所有代數整數就組成一個環Ω,由於R是戴德金環,故Ω也是戴德金環。事實上。戴德金環的發生和發展就與代數數論有關,而且是從其中抽象出來的。
  交換環是交換代數的主要研究對象。

 

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