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其運算適合交換律的群,或稱阿貝爾群。挪威數學家N.H.阿貝爾在討論高次方程時曾用到過有限交換群,為了紀念這位著名數學家,而常把交換群稱作阿貝爾群。交換群是一般群論中的一個獨特分支。在拓撲學和代數學中常常構造一些交換群,作為討論問題的工具,例如,拓撲學中的基本群、同調群、代數學中的布饒爾群等等。交換群論與代數拓撲、模論、同調代數、環論等有密切的聯繫。

 

1 交換群 -正文

 
  交換群作為特殊類型的群,也有諸如元素的階、群的階、子群、商群等概念以及相應的結果(見群)。在交換群中,子群和正規子群是相同的概念,習慣上把交換群的運算記作加法,用0表示群的單位元素,用-α表示元素α的逆元素,用表示αn次冪,交換群的直積改稱為直和。
  有限非交換群有複雜的結構,至今還不完全清楚。然而有限交換群卻有著非常簡單的結構。1878年,F.G.弗羅貝尼烏斯等證明了下面的基本定理:任一有限交換群G可表成有限個且階為素數冪的循環群的直和,即交換群交換群,其中k是自然數,Gi是循環群且交換群,pi是素數,ni是自然數,並且數k交換群交換群是由群G完全確定的。這個定理是一個具有典型意義的結構定理。關於有限交換群的子群、商群、自同態等問題,都可以利用這個定理去解決。因而,交換群理論的主體是研究無限群。
  對於具有有限個生成元的無限交換群G都可表成有限個循環群的直和:交換群交換群其中Gi是循環群且交換群,pi是素數,ni是自然數。而Fj都是無限循環群;且非負數k,s以及交換群由群G惟一確定。這是對於有限交換群基本定理的一個完滿的推廣。
  以上兩個定理是一系列研究的起點,啟示人們考慮還有哪些群類(更一般地,模類)可表為循環群(循環模)的直和,這樣的群類具有什麼性質,等等。
  n個(有限個或無限個)無限循環群的直和G,稱為自由交換群或自由群,其個數(基數)n是群的不變數,稱為自由群G的秩。自由群在交換群理論中所佔的地位,與非交換自由群在一般群理論中的地位相當,即任意一個群A總可看成自由群的同態像。為此,只要取定群A的一個生成元集交換群,並相應地取符號集{xα,αI},以xα為生成元可作無限循環群<xα>,再作它們的直和即得自由群G=嘰<xα>。G中元素都可惟一寫成有限和形式交換群是整數。因此,可作映射

交換群

易知,φ是自由群G到群A上的同態映射。還可以證明,自由群的非零子群仍是自由群。
  若干個循環群的直和G具有與自由群類似的一些性質。例如,這樣的直和G的子群,也是一些循環群的直和;當把G表成無限循環群與階為素數冪的循環群的直和時,這種表法在同構意義下是惟一的,即其中無限循環群的個數與階為素數冪交換群的循環群個數都由G本身惟一確定。
  每一元都是有限階(無限階)的交換群,稱為周期群(無扭群)。既含有有限階元又含有無限階元的群,稱為混合群。每一元的階都是素數p的冪的群,稱為準素群或p准素群。
  除群是個重要的而且已被完全刻畫了的群類。所謂除群G,是指對於任意自然數n和任意元素α,方程nx=α都有解的群G。不難驗證,全體有理數關於數的加法作成一個無扭除群;而對於固定的素數p及所有自然數n,一切pn次單位根的全體關於複數的乘法作成p准素群P,它也是除群,並記作p型群。任意除群都是若干個有理數加群和若干個p型群(對某些素數p)的直和。R.貝爾指出除群具有如下特性:若群G含有一個除子群h(即h本身是除群),則h必是G的直和項,即有子群K使G=hK。反之,具有如下性質的群h必是除群:若h是群G的子群,則h必是G的直和項。除群是模論中重要的入射模概念的一個原型。不含除子群的群,稱為簡約群。對任意交換群的研究可歸結為對簡約群的研究。
  交換群G中有限階元素的全體可作成一子群h,稱為G的周期子群,而商群G/h是無扭群。周期群G中階為素數p之冪的元素的全體G(p)是G的子群,且有交換群交換群(p取遍所有素數)。因此,周期群的研究可歸結為準素群的研究。設Gp准素群,對自然數n規定交換群。易知,pnG是子群,且有交換群。設非零元素αG,若有n使得αpnG,而交換群G,就把n稱為α的高。否則,就說α的高是∞。因此,α的高就是使方程pmx=αG中有解的最大自然數m(或∞)。高是交換群論中最重要的概念之一。除群中每一元素的高都是∞,而循環群的直和中則沒有高為∞的元素。
  重要的普呂菲爾定理給出一些可表為循環群的直和的某些群類:①若Gp准素群且有n使pnG={0},則G是循環群的直和。②若G是可數(即|G|是可數基數)p准素群,但是它不含高為∞的元素,則G是循環群的直和。
  含有高為∞的元素的群不可能表成循環群的直和,對此需另尋刻畫方法。H.厄爾姆在20世紀30年代作出了影響深遠的貢獻。他對p准素群G引入了定義在序數集上取值基數的一個函數ƒG(α) (後來稱之為厄爾姆不變數),給出了重要的厄爾姆定理:兩個可數p准素群Gh是同構的,當且僅當它們有相同的厄爾姆不變數,即對所有的序數α,有ƒG(α)=ƒH(α)。近年來,這個定理在I.卡普蘭斯基和E.沃克等人手中得到進一步的推廣。例如,對於一類所謂完全投射群,相應的結論也成立。
  對於無扭群,秩是一個最基本的概念,它類似於向量空間的維數。如果對於群G的有限個元素α1,α2,…,αn有不全是零的整數k1,k2,…,kn,使得交換群,就說α1,α2,…,αn是相關的,否則就說是無關的。如果G的一個子集S的任意有限子集都是無關的,就說S是無關的。群G的所有極大無關子集具有相同的基數,稱為G的秩。秩為1、2的無扭群的結構基本上已清楚,例如,秩為1的無扭群恰為有理數加群的一切子群。其他一些無扭群也作過研究,例如完全分解無扭群以及它們的純子群。總之,對無扭群的研究遠不如對周期群的研究深入。
  混合群G總可以看成周期群A藉助無扭群B的擴張。最初的一些研究,常集中於如下的問題:在什麼條件下這個擴張G是可裂的,即有G=AB成立。R.貝爾給出一個結果:若混合群G的周期子群A是一些除群和一些階小於某固定n的循環群的直和,則G是可裂的。近年來,I.卡普蘭斯基、R.B.沃菲爾德等找到了一些方法,能從整體上討論混合群,從而開創了一個新局面。
  任一交換群都可看成整數環上的模,為此只需引入模運算n·g=g+…+g(n個)即可。交換群作為特殊的模,為一般模論提供了大量的概念和定理的原型,例如張量積就是其中之一。交換群G的自同態對應全體End(G)關於自同態的乘法和加法作成一個環,而交換群G可以自然地看成End(G)的任意子環上的模。交換群、模論、環論是互相密切聯繫的。
  參考書目
 I.Kaplansky,Infinite Abelian Groups,Revised ed.,Univ.of Michigan Press, Ann Arbor, 1969.
 L.Fuchs,Infinite Abelian Groups,Vol.1~2,Academic Press,New York,1970,1973.

 

2 交換群 -配圖

 

3 交換群 -相關連接

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