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亥姆霍茲方程

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亥姆霍茲方程(Helmholtz equation)是一條描述電磁波的橢圓偏微分方程,以德國物理學家亥姆霍
亥姆霍茲

  亥姆霍茲

茲的名字命名。亥姆霍茲方程通常出現在涉及同時存在空間和時間依賴的偏微分方程的物理問題的研究中。因為它和波動方程的關係,亥姆霍茲方程出現在物理學中電磁輻射、地震學和聲學研究這樣的領域裡的問題中。
如:電磁場中的
▽^2E+k^2E=0,
▽^2H+k^2H=0,
稱為齊次亥姆霍茲方程,是在諧變場的情況下,E波和H波的波動方程。 此時,根據麥克斯韋方程組,有:
▽×E=iωB                   ①
▽×B=-iωμεE+σμE      ②
式兩邊求旋度,再代入式,便可求得亥姆霍茲方程。其中 :k^2=μω^2(ε+iσ/ω) 為波數,當忽略傳導電流時(忽略中σμE項),k^2=μεω^2;以上^2為平方。
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數學上具有(▽2+k2)ψ =f形式的雙曲型偏微分方程。式中▽2為拉普拉斯運算元,在直角坐標系中為;ψ為待求函數;k2為常數;f為源函數。當f等於零時稱為齊次亥姆霍茲方程;f不等於零時稱為非齊次亥姆霍茲方程。在電磁學中,當函數隨時間作簡諧變動時,波動方程化為亥姆霍茲方程。
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