標籤:方程分式根式整式

代數是研究數字和文字的代數運算理論和方法,更確切的說,是研究實數和複數,以及以它們為係數的多項式的代數運算理論和方法的數學分支學科。 初等代數是更古老的算術的推廣和發展。代數是研究數、數量、關係與結構的數學分支。初等代數一般在中學時講授,介紹代數的基本思想:研究當我們對數字作加法或乘法時會發生什麼,以及了解變數的概念和如何建立多項式並找出它們的根。代數的研究對象不僅是數字,而是各種抽象化的結構。例如整數集作為一個帶有加法、乘法和序關係的集合就是一個代數結構。在其中我們只關心各種關係及其性質,而對於「數本身是什麼」這樣的問題並不關心。常見的代數結構類型有群、環、域、模、線性空間等。

1簡介

在古代,當算術里積累了大量的,關於各種數量問題的解法后,為了尋求有系統的、更普遍的方法,以解決各種數量關係的問題,就產生了以解方程的原理為中心問題的初等代數。
代數是由算術演變來的,這是毫無疑問的。至於什麼年代產生的代數學這門學科,就很不容易說清楚了。比如,如果你認為「代數學」是指解bx+k=0這類用符號表示的方程的技巧。這種「代數學」是在十六世紀才發展起來的。

2溯源

古希臘數學家丟番圖

  古希臘數學家丟番圖

如果我們對代數符號不是要求像現在這樣簡練,那麼,代數學的產生可上溯到更早的年代。
西方人將公元前三世紀古希臘數學家丟番圖看作是代數學的鼻祖,而真正創立代數的則是古阿拉伯帝國時期的偉大數學家默罕默德·伊本·穆薩(中國稱為「花刺子密」,生卒約為公元780-850年)。而在中國,用文字來表達的代數問題出現的就更早了。
「代數」作為一個數學專有名詞、代表一門數學分支在中國正式使用,最早是在1859年。那年,清代數學家李善蘭和英國人韋列亞力共同翻譯了英國人棣么甘所寫的一本書,譯本的名稱就叫做《代數學》。當然,代數的內容和方法,中國古代早就產生了,比如《九章算術》中就有方程問題。
代數的起源可以追溯到古巴比倫的時代[1],當時的人們發展出了較之前更進步的算術系統,使其能以代數的方法來做計算。經由此系統的被使用,他們能夠列出含有未知數的方程並求解,這些問題在今日一般是使用線性方程、二次方程和不定線性方程等方法來解答的。相對地,這一時期大多數的埃及人及西元前1世紀大多數的印度、希臘和中國等數學家則一般是以幾何方法來解答此類問題的,如在蘭德數學紙草書、繩法經、幾何原本及九章算術等書中所描述的一般。希臘在幾何上的工作,以幾何原本為其經典,提供了一個將解特定問題解答的公式廣義化成描述及解答方程之更一般的系統之架構。
代數(algebra)導源於阿拉伯語單字「al-jabr」,其出自 al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala這本書的書名上,意指移項和合併同類項之計算的摘要,其為波斯回教數學家花拉子米於820年所著。Al-Jabr此詞的意思為「重聚」。傳統上,希臘數學家丟番圖被認為是「代數之父」,的成果到今日都還有用途,且他更給出了一個解答二次方程的一詳盡說明。而支持丟番圖的人則主張在Al-Jabr里出現的代數比在Arithmetical里出現的更為基本,且Arithmetical是簡字的而Al-Jabr卻完全是文辭的。[3]另一位波斯數學家歐瑪爾·海亞姆發展出代數幾何出,且找出了三次方程的一般幾何解法。印度數學家摩訶吠羅和婆什迦羅與中國數學家朱世傑解出了許多三次、四次、五次及更高次多項式方程的解了。
代數更進一步發展的另一個關鍵事件在於三次及四次方程的一般代數解,其發展於16世紀中葉。行列式的概念發展於17世紀的日本數學家關孝和手中,並於十年後由萊布尼茨繼續發展著,其目的是為了以矩陣來解出線性方程組的答案來。加布里爾·克拉默也在18世紀時在矩陣和行列式上做了一樣的工作。抽象代數的發展始於19世紀,一開始專註在今日稱為伽羅瓦理論及規矩數的問題上。

3組成

高等
研究對象
高等代數是代數學發展到高級階段的總稱,它包括許多分支。大學里開設的高等代數,一般包括兩部分:線性代數初步 、多項式代數。
高等代數在初等代數的基礎上研究對象進一步的擴充,引進了許多新的概念以及與通常很不相同的量,比如最基本的有集合、向量和向量空間等。這些量具有和數相類似的運算的特點,不過研究的方法和運算的方法都更加繁複。  集合是具有某種屬性的事物的全體;向量是除了具有數值還同時具有方向的量;向量空間也叫線性空間,是由許多向量組成的並且符合某些特定運算的規則的集合。向量空間中的運算對象已經不只是數,而是向量了,其運算性質也有很大的不同了。
與線性代數的區別和聯繫
很多人把高等代數和線性代數混為一談,不明白其中的區別。
高等代數是大學數學專業開設的專業課,線性代數是大學中除了數學專業以外的理科,工科和部分醫科專業開設的課程

4解方程

複雜的運算

  複雜的運算

初等代數的中心內容是解方程,因而長期以來都把代數學理解成方程的科學,數學家們也把主要精力集中在方程的研究上。它的研究方法是高度計算性的。
要討論方程,首先遇到的一個問題是如何把實際中的數量關係組成代數式,然後根據等量關係列出方程。所以初等代數的一個重要內容就是代數式。由於事物中的數量關係的不同,大體上初等代數形成了整式、分式和根式這三大類代數式。代數式是數的化身,因而在代數中,它們都可以進行四則運算,服從基本運算定律,而且還可以進行乘方和開方兩種新的運算。通常把這六種運算叫做代數運算,以區別於只包含四種運算的算術運算。
在初等代數的產生和發展的過程中,通過解方程的研究,也促進了數的概念的進一步發展,將算術中討論的整數和分數的概念擴充到有理數的範圍,使數包括正負整數、正負分數和零。這是初等代數的又一重要內容,就是數的概念的擴充。
有了有理數,初等代數能解決的問題就大大的擴充了,但是,有些方程在有理數範圍內仍然沒有解。於是,數的概念在一次擴充到了實數,進而又進一步擴充到了複數。
數學家們說不用把複數再進行擴展。這就是代數里的一個著名的定理—代數基本定理。這個定理簡單地說就是n次方程有n個根。1742年12月15日瑞士數學家歐拉曾在一封信中明確地做了陳述,後來另一個數學家、德國的高斯在1799年給出了嚴格的證明。

5西文

代數學的西文名稱algebra來源於9世紀阿拉伯數學家花拉子米的重要著作的名稱。該著作名為「ilm al-jabr wa'1 muqabalah」,原意是「還原與對消的科學」。這本書傳到歐洲后,簡譯為algebra。清初曾傳入中國兩卷無作者的代數學書,被譯為《阿爾熱巴拉新法》,后改譯為《代數學》。
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