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本文研究了二次代數函數域,明顯決定了幾類實二次函數域的基本單位,決定了多類二次函數域的理想類數的下界,給出了類數為1的條件,給出了理想類群的結構的一系列定理。發展應用了函數連分式理論。

1 代數函數域 -概念

一個域上的n(n≥1)元有理函數域的有限擴張。設K是一個在任意域F上經添加有限個元素x1,…,xn,xn+1,…,xs所生成的域,其中x1,…,xn(n≥1)在F上是代數獨立的;xn+1,…,xs關於F(x1,…,xn)是代數元,則稱K是以F為係數域的n元代數函數域。當n=1時,簡稱KF上的代數函數域,記作K/FK中所有關於F的代數元成一個子域F┡,稱之為K/F的常量域。為了方便起見,以下設F本身就是K/F的常量域。 

2 代數函數域 -介紹

除子  在代數函數域K/F中,K的一個不平凡賦值,若在F上是平凡的,則稱為K/F的一個賦值,由K/F的離散賦值所成的等價類,稱之為K/F的素除子。這種素除子有無限多個。作形式冪積代數函數域其中αp是整數,而且只有有限多個不為零;p取遍K/F的所有素除子。這種α稱為K/F的除子。如果每個αp都不是負整數,那麼α就稱為整除子。對於兩個除子代數函數域代數函數域規定:α=b,當且僅當對每個p都有αp=bp;規定乘法運算為代數函數域;除子代數函數域記為α-1。若α-1b是一整除子,則稱α除盡b,記作αb
虧格  由於素除子p的剩餘類域是F上的一個有限擴張,其擴張次數稱為素除子p的次數,記為d(p)。規定除子代數函數域的次數為代數函數域於是有d(α-1)=-d(α)以及d(αb)=d(α)+d(b)。
對於K中不為零的α,規範化的指數賦值vpα)=mp是整數,且只有有限多個 p有 mp≠0,從而可作出除子代數函數域α是任一除子。子集L(α)={αKα=0,或者α|(α)}形成F上的一個有限維空間,它的維數,記為l(α)。當α遍取K/F中所有的除子時,整數集{l(α)+d(α)}是有下界的。令代數函數域由此確定的非負整數g是代數函數域的一個重要不變數,稱為K/F的虧格。雖然是B.黎曼首先明確提出並命名它為虧格的,但是早在N.H.阿貝爾的著作中就已經出現過。
微分和黎曼-羅赫定理  作K關於離散賦值vp的完備化(completion)Kp,於是Kp的元素都可以表作某個πK的形式冪級數。設F是個完全域(perfect field)。則可選擇適當的tK,使得K成為F(t)的可分代數擴張。另一方面,t作為Kp的元素,有代數函數域規定代數函數域代數函數域並以dt記向量代數函數域其中每個分量是對不同的素除子p來取的,因此dt是個無限向量。對於K中每個u,規定代數函數域並稱之為K的微分。當u≠0時,總有代數函數域於是代數函數域是整數,且只有有限多個不為零,由此定出一個除子代數函數域若對某個除子bb│(udt),則稱udtb除盡。K中所有被b除盡的微分(包括0),組成F上一個有限維空間,它與tπ的選擇無關,它的維數記作δ(b)。
黎曼-羅赫定理 對於代數函數域K/F的任何一個除子α,恆有等式l(α)=d(α-1)-g+1+δ(α-1)成立。
虧格為0和1的代數函數域  F上的有理函數域F(x),它的虧格為0。反之,若K/F的虧格是0,則除了有理函數域外,K只能是F上圓錐曲線的函數域,即K=F(x,y),其中xy滿足F上圓錐曲線的方程

代數函數域

虧格為1的代數函數域稱為橢圓域。特別在F為複數域C時,以複數αbα/b不是實數)為周期的橢圓函數組成一個域K,作為C上的代數函數域而論,它的虧格等於1。
在歷史上曾企圖把形如代數函數域的積分用有限的形式表出,於是引起對代數函數域的研究,這裡φ(x,y)是含xy的有理式;yx滿足一個整關係式ƒ(x,y)=0。代數函數的理論,歷來就有幾種不同的描述方法,其中之一屬於「算術-代數」這一方向,即所謂代數函數域。它始於19世紀80年代R.戴德金和H.韋伯的工作。自20世紀以來,隨著抽象代數學的發展,戴德金和韋伯的理論,先後經E.諾特、 H.哈塞、F.K.施密特和 A.韋伊以及其他學者的逐步簡化和推廣,對域F的限制得以逐步解除,使這一理論的許多內容包括黎曼-羅赫定理,可以在F為任意域的情況下來建立。

3 代數函數域 -參考書目 

C.Chevalley,Introduction to the Theory of Algebraic functions of one variable, Amer. Math.Soc.,New York,1951.
E.Artin,Algebraic Numbers and Algebraic Functions,Grodon and Breach,New York,1967.

 

4 代數函數域 -配圖

 

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