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代數結構是研究各種代數結構,諸如群、環、域、格 的數學學科,是代數學的一個分支。代數學起初被作為純粹數學而進行研究,但是後來發現它在計算機科學中有很大的運用。關於代數結構的的詳細情況,參見各個鏈接。 代數結構也稱為代數系統是抽象代數的主要研究對象。抽象代數是數學的一個分支,它用代數的方法從不同的研究對象中概括出一般的數學模型並研究其規律、性質和結構。

1 代數結構 -概念

  一個代數結構包含集合及符合某些公理的運算或關係。
  代數(Algebra)是數學的一個分支。它是算術的概括和延伸。在現代數學中,代數主要研究各種代數結構,與中學所教的代數有極大不同。代數是研究數字和文字的代數運算理論和方法,更確切的說,是研究實數和複數,以及以它們為係數的多項式的代數運算理論和方法的數學分支學科。
  初等代數是更古老的算術的推廣和發展。在古代,當算術里積累了大量的,關於各種數量問題的解法后,為了尋求有系統的、更普遍的方法,以解決各種數量關係的問題,就產生了以解方程的原理為中心問題的初等代數。

2 代數結構 -由來

  代數是由算術演變來的,這是毫無疑問的。至於什麼年代產生的代數學這門學科,就很不容易說清楚了。比如,如果你認為「代數學」是指解bx+k=0這類用符號表示的方程的技巧。那麼,這種「代數學」是在十六世紀才發展起來的。
  如果我們對代數符號不是要求象現在這樣簡練,那麼,代數學的產生可上溯到更早的年代。西方人將公元前三世紀古希臘數學家丟番圖都看作是代數學的鼻祖。而在中國,用文字來表達的代數問題出現的就更早了。

3 代數結構 -歷史

  「代數」作為一個數學專有名詞、代表一門數學分支在中國正式使用,最早是在1859年。那年,清代數學家裡李善蘭和英國人韋列亞力共同翻譯了英國人棣么甘所寫的一本書,譯本的名稱就叫做《代數學》。當然,代數的內容和方法,中國古代早就產生了,比如《九章算術》中就有方程問題。

4 代數結構 -研究方向

  初等代數的中心內容是解方程,因而長期以來都把代數學理解成方程的科學,數學家們也把主要精力集中在方程的研究上。它的研究方法是高度計算性的。
  要討論方程,首先遇到的一個問題是如何把實際中的數量關係組成代數式,然後根據等量關係列出方程。所以初等代數的一個重要內容就是代數式。由於事物中的數量關係的不同,大體上初等代數形成了整式、分式和根式這三大類代數式。代數式是數的化身,因而在代數中,它們都可以進行四則運算,服從基本運算定律,而且還可以進行乘方和開方兩種新的運算。通常把這六種運算叫做代數運算,以區別於只包含四種運算的算術運算。
  在初等代數的產生和發展的過程中,通過解方程的研究,也促進了數的概念的進一步發展,將算術中討論的整數和分數的概念擴充到有理數的範圍,使數包括正負整數、正負分數和零。這是初等代數的又一重要內容,就是數的概念的擴充。
  有了有理數,初等代數能解決的問題就大大的擴充了。但是,有些方程在有理數範圍內仍然沒有解。於是,數的概念在一次擴充到了實數,進而又進一步擴充到了複數。
  那麼到了複數範圍內是不是仍然有方程沒有解,還必須把複數再進行擴展呢?數學家們說:不用了。這就是代數里的一個著名的定理—代數基本定理。這個定理簡單地說就是n次方程有n個根(有時也會出現實際解的個數小於方程次數的,成為重根,這個方程中幾個根相同)。1742年12月15日瑞士數學家歐拉曾在一封信中明確地做了陳述,後來另一個數學家、德國的高斯在1799年給出了嚴格的證明。

5 代數結構 -內容

  把上面分析過的內容綜合起來,組成初等代數的基本內容就是:
  三種數——有理數、無理數、複數
  三種式——整式、分式、根式
  中心內容是方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程組。
  初等代數的內容大體上相當於現代中學設置的代數課程的內容,但又不完全相同。比如,嚴格地說,數的概念、排列和組合應歸入算術的內容;函數是分析數學的內容;不等式的解法有點像解方程的方法,但不等式作為一種估算數值的方法,本質上是屬於分析數學的範圍;坐標法是研究解析幾何的……。這些都只是歷史上形成的一種編排方法。
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