標籤:伯努利

伯努利方程是理想流體定常流動的動力學方程,意為流體在忽略粘性損失的流動中,流線上任意兩點的壓力勢能、動能與位勢能之和保持不變。

1流體力學中的物理方程

理想正壓流體在有勢體積力作用下作定常運動時,運動方程(即歐拉方程)沿流線積分而得到的表達運動流體機械能守恆的方程。因著名的瑞士科學家D.伯努利於1738年提出而得名。對於重力場中的不可壓縮均質流體 ,方程為:
p+\frac{\rho\cdot v^2}{2}+\rho\cdot g\cdot h=c
式中p、ρ、v分別為流體的壓強、密度和線性速度;h為鉛垂高度;g為重力加速度;c為常量。
伯努利方程
上式各項分別表示單位體積流體的壓力能 p、重力勢能ρgh和動能(1/2)*ρv ^2,在沿流線運動過程中,總和保持不變,即總能量守恆。但各流線之間總能量(即上式中的常量值)可能不同。對於氣體,可忽略重力,方程簡化為p+(1/2)*ρv ^2=常量(p0),各項分別稱為靜壓 、動壓和總壓。顯然 ,流動中速度增大,壓強就減小;速度減小, 壓強就增大;速度降為零,壓強就達到最大(理論上應等於總壓)。飛機機翼產生舉力,就在於下翼面速度低而壓強大,上翼面速度高而壓強小 ,因而合力向上。 據此方程,測量流體的總壓、靜壓即可求得速度,成為皮託管測速的原理。在無旋流動中,也可利用無旋條件積分歐拉方程而得到相同的結果但涵義不同,此時公式中的常量在全流場不變,表示各流線上流體有相同的總能量,方程適用於全流場任意兩點之間。在粘性流動中,粘性摩擦力消耗機械能而產生熱,機械能不守恆,推廣使用伯努利方程時,應加進機械能損失項。
圖為驗證伯努利方程的空氣動力實驗。
補充:
p_1+\frac{\rho\cdot v^2_1}{2}+\rho\cdot g\cdot h_1=p_2+\frac{\rho\cdot v^2_2}{2}+\rho\cdot g\cdot h_2
(1)
p+\frac{\rho\cdot v^2}{2}+\rho\cdot g\cdot h=c
均為伯努利方程
其中ρv^2/2項與流速有關,稱為動壓強,而p和ρgh稱為靜壓強。
伯努利方程揭示流體在重力場中流動時的能量守恆。
由伯努利方程可以看出,流速大處壓強低,流速小處壓強高

2應用要點

應用伯努利方程解決實際問題的一般方法可歸納為:
1.先選取適當的基準水平面;
2.選取兩個計算截面,一個設在所求參數的截面上,另一個設在已知參數的截面上;
3.按照液體流動的方向列出伯努利方程。

3舉例

圖II.4-3為一噴油器,已知進口和出口直徑D1=8mm,喉部直徑D2=7.4mm,進口空氣壓力p1=0.5MPa,進口空氣溫度T1=300K,通過噴油器的空氣流量qa=500L/min(ANR),油杯內油的密度ρ=800kg/m。問油杯內油麵比喉部低多少就不能將油吸入管內進行噴油?
解:
由氣體狀態方程,知進口空氣密度ρ=(p1+Patm)*M/(RT1)=(0.5+0.1)*29/(0.0083*300)kg/m=6.97kg/m(採用的是平均分子量的演算法,除了單位外無誤)
密度演算法2:ρ=ρ標*(P1+1013)/T1/(1013/273)=1.29*(5000+1013)/300/(1013/273)=6.968kg/m^3
求通過噴油器的質量流量
qm=ρa*qa=(1.185*500*10^-3)/60=0.009875kg/s(此處1.185應該是筆誤)
求截面積1和截面積2處的平均流速:
u1=qm/(ρ1A1)=[0.009875/(6.97*0.785*0.008^2)]m/s=28.2m/s
u2=qm/(ρ2A2)=[0.009875/(6.97*0.785*0.0074)]m/s=32.9m/s
(此處可以直接用體積流量算u1=qa/A=500*10^3/60/PI/(D1^2/4)*10^(-6)=41.4m/s,速度U2同理)
由伯努利方程可得
p1-p2=0.5*ρ1(u2^2-u1^2)=0.5*6.97(32.9^2-28.2^2)pa=1200.94pa
吸油管內為靜止油液,若能吸入喉部,必須滿足:
p1-p2≥ρgh
h≤(p1-p2)/ρg=1200.94/(800*9.8)m=0.153m
說明油杯內油麵比喉部低153mm以上便不能噴油。
伯努利方程

相關評論

同義詞:暫無同義詞