標籤:偏微分方程位勢論

「位勢論」一詞的來源在於,在19世紀的物理學中,自然界的基本力被相信為從滿足拉普拉斯方程的位勢導出。因此,位勢論研究可以作為位勢的函數。今天,我們知道自然界更為複雜——表述力的方程可以是諸如愛因斯坦場方程或者楊-米爾斯方程這樣的非線性偏微分方程的系統,而拉普拉斯方程只是在受限情況下的近似。但是,「位勢論」一詞還是保留了作為對滿足拉普拉斯方程的函數的研究的方便叫法。

1簡介

位勢論和拉普拉斯方程的理論有很大程度的重疊。這個程度是:可能可以在兩個領域劃分一個區別,區別在於重點而不是主題,並且主要在於下列區別——位勢論注重函數的性質而不是方程的性質。例如,調和函數的奇點的一個結果可說屬於位勢論;而關於解如何依賴於邊界條件的一個結果,卻是拉普拉斯方程理論。當然,這不是一個嚴格和顯然的區別,實踐上兩個領域有很大交互,它們的結果和方法相互為用。

2正文

(x)的核函數。
用|·|表示R中的范數,當
時,U(x)稱為平面上的對數位勢。當Ω=R(n≥3),0<α<nK(x,y)=|x-y|時,U(x)稱為μ的α位勢(或里斯位勢),此時也記作U(x)。特別α=2時,U(x)稱為μ的牛頓位勢。下面限於討論U扝∞的情形。
R里的兩個測度μv,把
稱為μv的α相互能量。特別稱Iα(μ)=Iα(μ,μ)為μ的α能量。
把支柱包含在緊集K中且總質量等於1的非負測度全體記作,令則稱為緊集K的α容量。對任意集合E,把稱為E的α內容量,把
稱為E的α外容量。若Cα(E)=婔α(E),則說E是α可定容的。G.紹凱證明了所有解析集,從而所有的波萊爾集是α可定容的。
當Cα(E)=0(或婔α(E)=0)時,稱E為α內(或外)零容集。一個性質若除了一個α內零容集外處處成立,則說該性質近乎處處成立;若除了一個α 外零容集外處處成立,則說該性質似乎處處成立。對任意零容的緊集K都有v(K)=0的測度v稱為C絕對連續測度。
集合E稱為α極集,若存在測度μ≥0,其α位勢在且僅在E上等於+∞。E是α極集的充要條件是:E為α零容的GΛ集。
對緊集K,關於渾收斂拓撲是緊的,從而存在使
稱為K的α平衡測度,它滿足:(v(1)是v的總質量)。它的位勢Uǎ(x)稱為K的α平衡位勢α它滿足:在S(v)處處成立而 在K上近乎處處成立。特別當0<α≤2時,由第一極大值原理知在R處處成立。
對任意集E,當Cα(E)<∞(或婔α(E)<∞)時有相應的內(外)平衡測度。當0<α≤2,α<n,若E可定容且Cα(E)<∞時,E的內、外平衡測度相等,稱之為E的平衡測度。此時v是滿足①支柱在唕,②v(1)=Cα(E),③在E上似乎處處有諸條件的唯一測度。平衡測度是C絕對連續的,而平衡位勢Uǎ(x)是這樣一族α位勢U(x)的下確界:μ≥0且U(x)≥1在E上似乎處處成立。因此,若μ≥0且在E上似乎處處成立,則μ的總質量μ(1)≥Cα(E)。
由於測度的α能量非負,所以能量有限的測度全體在通常的線性組合的意義下,以Iα(μv)為內積構成一個實的准希爾伯特空間εα,其中非負測度全體ε是εα的一個完備凸錐。若K緊,那麼支柱含於K中的具有限α能量的非負測度全體ε(K)是ε的完備凸子錐,因此ε的任何元素μ在ε(K)上有唯一的正交投影βKμ,即滿足當0<α≤2時,βKμ是掃除問題的解,即βKμ滿足:在R處處成立且等號在K上似乎處處成立。
若不假定μ≥0的能量有限,則存在唯一的支柱含於K的測度βKμ使得方程
對任意λ∈ε成立且βKμ是掃除問題的解。
當0<α≤2,α<n時,對α容量有限的波萊爾集E及測度μ≥0,設A是E的緊子集全體以包含關係為序的有向集,則網{βKμ|K∈A}的渾極限βEμ存在,稱βEμμE的掃除測度,掃除測度βEμμE的掃除問題的解,且掃除位勢是在E上似乎處處滿足的位勢族{U(x)}的下確界函數。
設εx是在點x的狄喇克測度,則βEεC稱為E的α格林測度。對任意測度μ,。當x0∈唕且時,稱x0為E的α正則點,當x0∈唕而時,稱x0為E的α非正則點。
開集Ω的邊界記作дΩ,余集記作CΩ,稱 為Ω的α格林函數。以格林函數為核的位勢叫做格林位勢。當 α=2時,對任意的波萊爾集E吇дΩ,由定義的дΩ上的測度ωy稱為關於y的調和測度,其中XE表示E的特徵函數。
當2<α<n時,關於測度的掃除問題一般無解,但J.德尼利用廣義函數解決了這個問題。
用ε宎表示單位質量在以y為球心,r為半徑的球面的均勻分佈。若函數ƒΩ里下半連續且滿足
② 對任何xΩ,存在正數ρ使對任意正數r<ρ
則稱ƒΩ里超調和。不恆等於+∞的超調和函數稱為上調和函數。若-ƒ上調和,就說ƒ下調和,既上調和又下調和的函數叫調和函數。
當2≤α<n時,α位勢U(x)是上調和函數。里斯分解定理指出:ƒ在區域Ω里上調和的充要條件是存在唯一的Ω上的測度μ≥0,使得對任何相對緊的區域Ω1嶅捙1嶅Ω有 ,
這裡μ|Ω1表示μΩ1的限制,在Ω1里調和。
當0<α<2時,α位勢不是上調和函數。但當U(x)是μ幾乎處處有限時,它是α上調和函數。一個函數稱為α上調和函數,指的是滿足下麵條件的非負的不恆為+∞的下半連續函數:
② 式中
如果在x0的一個鄰域內連續的函數滿足條件①且對充分小的r恆有 則稱ƒ(x)在x0是α調和的。若ƒ(x)在集Ω上點點α調和,則稱ƒΩ里α調和。對於α上調和函數,同樣也有類似的里斯分解定理。
對上調和函數的連續性的研究導致細拓撲概念的引入。為敘述方便,也稱上調和函數為2-上調和函數。用E┡表示集E的極限點全體,若x0媂E┡或x0∈E┡且存在α上調和函數u(x)使
成立,則稱Ex0是α瘦的。Ex0是α瘦的充要條件是x0媂唕或x0是E的α非正則點。
E的余集在x0為α瘦則說Ex0是α肥的。若EE的每一點都是α肥的,則說E是一個α肥集。α肥集全體構成R里一個拓撲,稱為α細拓撲。2-瘦和2-細拓撲通常分別稱為瘦和細拓撲。開集必為α肥集,α細拓撲比通常拓撲細。此外,當α<α┡時,α細拓撲嚴格細於α┡細拓撲;α細拓撲是使所有α上調和函數(包括α位勢)都連續的最粗拓撲。在α細拓撲下的極限叫α細極限。對α細拓撲,α細極限與不相切極限的關係,J.L.杜布等人曾有深入的研究。
第一極大值原理  當0<α≤2,μ≥0時,若U(x)≤Mμ幾乎處處成立,則該不等式處處成立。
當2<α<n時,第一極大值原理不成立。
廣義極大值原理  當0<α<n時,若U(x)≤MS(μ)上成立,則處處成立。
第二極大值原理  又稱控制原理。設μ≥0是能量有限的測度,λ≥0是任意測度,若μ幾乎處處成立,則該不等式處處成立。
當0<α<2時,若U(x)關於μ≥0幾乎處處有限,ƒ(x)是α上調和函數,且U(x)≤ƒ(x),μ幾乎處處成立,則該不等式處處成立。
唯一性原理  設0<α<n,μ1,μ2是絕對連續的非負測度,若在S(μ1)∪S(μ2)上似乎處處成立,則μ1=μ2。
下包絡原理  設0<α≤2,則對任意兩個非負測度μv存在測度λ,使
連續性原理  若把U(x)看作支柱S(μ)上的函數時是取有限值的連續函數,那麼U(x)在整個空間上也連續。
能量原理  對任意測度μ, 等號成立當且僅當μ=0。
掃除原理  當0<α≤2時,對任意α容量有限的波萊爾集E和具有限位勢的測度μ≥0,掃除問題有解,即存在支柱在唕的測度βEμ使在E上似乎處處有
且在R處處有。

3狄利克雷問題

廣義形式可敘述為:若R的區域Ω的邊界дΩ是緊的,對дΩ上的函數ƒ,是否存在唯一的函數uΩ里調和且對每一個正則邊界點y滿足:
且當Ω是無界區域時,
下面採用的佩隆方法是解這個問題的最有效工具,它是歷史上有名的施瓦茲交錯法及龐加萊掃除法的發展與精密化。
令(當Ω無界時還要求),記
那麼Hƒ≤啛ƒ。當此式等號成立且僅取有限值時稱ƒ是可解的。ƒ可解的充要條件是對於每個xΩ,ƒ關於дΩ的調和測度ωx可積分。這時 就是所要求的唯一解。特別,若 ƒ連續則必可解,而且,y∈дΩ為正則邊界點的充要條件是對 дΩ上的每個連續函數ƒ有。
在一定條件下,也可以考慮關於α調和函數的狄利克雷問題。
當0<α≤2,α<n時,y∈дΩ為α正則邊界點當且僅當Ω的余集在y是α不瘦的。維納判別法指出,若0<q<1,令則y∈дΩ為α非正則的充要條件是,式中Cα(Ωk)表示Ωk的α容量。Ω的α非正則邊界點全體是α零容集。此外,關於正則點的充要判別法還可利用閘函數、格林函數、平衡位勢等給出,而龐加萊錐判別法是常用的充分判別法。

4狄利克雷原理

D0是R的有界區域Ω上的連續可微且梯度平方可積的函數全體。在D0定義內積<>記,則依等價關係「~」得到的商空間D是准希爾伯特空間。若ƒD0且有界並可連續地開拓到捙,則狄利克雷問題的解Hƒ滿足:,這裡H表示D0中的調和函數全體所組成的D的子希爾伯特空間,即Hƒ是ƒH上的正交投影。
德尼用廣義函數證明,D的完備化是由下述BLD函數ƒ組成的:ƒ似乎處處有限且D0中有子列似乎處處收斂於ƒ。若ƒ是有界區域Ω1(叾捙)上的BLD函數,則在Ω上,Hƒ存在且除了一個附加常數外是唯一的使 ‖u-ƒ‖達到極小的BLD函數,也是唯一的在Ω里調和並且可由ƒ開拓成Ω1上的BLD函數的函數。
上述結果都可以推廣到ε空間的相對緊的子區域上去。

5格林空間與格林函數

連通的豪斯多夫空間Ω若滿足下麵條件則稱之為ε空間:Ω的每一點x有一個開鄰域Vx連同一個把Vx變R上的一個開子集的同胚yMx(y),並且任何兩個這樣的鄰域VC與Vy的交VC∩Vy在相應的兩個同胚變換下是保距的(當r≥3)或共形的(當n=2)。於是作為局部性概念的調和、超調和、上調和函數等可在ε空間Ω上相應地定義。更一般地,也可以用垪代替上述R來定義ε空間。這種廣義ε空間將有若干無窮遠點。
若ε空間Ω上存在正的非常數的上調和函數,則稱Ω為格林空間。例如R(n≥3)及R的任何有界子區域都是格林空間,R是ε空間而不是格林空間。格林空間Ω上必存在滿足下列條件的函數Gx(y),稱之為以xΩ為極的格林函數:①Gx(y)>0;②在Ω\{x}上,Gx(y)調和;③存在x的鄰域V(嶅Vx)使得對每個yV,若記y┡=Mx(y),則式中K為α=2時的核函數,u調和。
由於Gx(y)=Gy(x),故記作G(x,y)=G(y,x)。
G(xy)dμ(x)(μ≥0)為格林位勢。它或恆為+∞,或是個以0為最大調和下屬的上調和函數。

6最一般的抽象邊界與CC緊緻化

在非空集合Ω上賦予拓撲τ,設I是任一非空號標集,若凬iI,Ω的開子集族Bi為Ω的濾基,則I可成為Ω的鑲上去的抽象邊界,因為在ΩI上存在滿足下述條件的拓撲τ1:①Ω∈τ1;②τ1在Ω的誘導(相對)拓撲正好是τ;③每個iI的鄰域系與Ω的交構成由Bi生成的濾子。這樣的拓撲中最細者在I上誘導出離散拓撲;而最粗者當IΩ上抽象調和函數凸錐的極端母線全體時就稱為極小細拓撲。
在實用中,常據在Ω上所考慮的函數族的性質來引入邊界且保證Ω鑲邊后是緊的。康斯坦丁斯庫-科尼緊緻化定理即若Ω是非緊的局部緊的豪斯多夫空間,φ是一族從Ω到【-∞,+∞】的連續函數,則存在唯一(至多相差一個同胚)的緊空間惂滿足:①Ω在惂中是開的且在惂中稠密;②φ中每個函數ƒ能開拓成惂上的連續函數弮;③弮全體能辨別理想邊界Δ=惂\Ω
惂也可看成關於Ω上的這樣的一致結構的完備化空間:它是使得φ中每個函數都一致連續且相應的一致拓撲與Ω原有拓撲相容的最粗的一致結構。
作為應用,適當選取φ可以得到如下位勢論中常用的緊緻化。
亞歷山德羅夫單點緊緻化  這時φ為空集。
斯通-切赫緊緻化  這時φΩ上的所有廣義實值連續函數。
凱雷克亞托-斯托伊洛夫緊緻化  這時φ由這樣的實值連續函數ƒ組成:在Ω中有緊子集Kƒ使得Ω\Kƒ是一些區域之並集且在每個區域上ƒ取常數值。
羅伊登緊緻化  這時Ω是ε空間,φ是所有實連續的BLD函數。
倉特善緊緻化  這時Ω是ε空間,φ是滿足下述條件的實連續BLD函數ƒ全體:Ω有閉子集Fƒ使得ƒΩ\Fƒ里調和且在那些於Fƒ上取值等於ƒ的BLD函數中,ƒ的狄利克雷積分(即‖ƒD)達到最小。
馬丁緊緻化  是位勢論中重要的一種緊緻化。

7馬丁空間與馬丁邊界

為紀念R.S.馬丁,將格林空間Ω相對於函數族
y0∈Ω任意取定)的CC緊緻化空間惂 稱為馬丁空間;Δ=惂\Ω稱為馬丁邊界。所有函數xм→K(x,y)(yΩ),在惂都有連續的開拓且能辨別Δ。惂可度量化。R的一般區域的歐氏邊界與Δ全然不同;但當Ω是球或其他較為正則的區域時,惂等同於Ω的歐氏閉包;對R的單連通格林區域,Δ等同於卡拉西奧多里分歧邊界。
調和函數u>0稱為極小調和函數,指的是任何不大於u的正調和函數必與u成比例。若u極小調和,必存在xΔ使得u(y)=u(y0)·K(x,y)。稱這樣的XΔ的極小點。極小點全體Δ1是GΛ集。對任一非負調和函數u必存在唯一的分佈在Δ1上的拉東測度μ使得凬yΩ
稱此式為馬丁積分表現,其右端是雙層位勢的推廣。它促使了著名的關於凸錐的極端點的紹凱定理的產生並且後者反過來簡化了前者的證明。
對馬丁邊界同樣可考慮狄利克雷問題,可討論一個集在XΔ1的瘦與肥並進而把Ω上的細拓撲開拓到ΩΔ1。對任意上調和函數u>0及調和函數h>0,u/hΔ1上至多除去一個h零測集外處處有細極限,這是杜布對著名的法圖定理即球內的正調和函數在邊界上幾乎處處有不相切極限的重大推廣。
馬丁緊緻化有許多推廣的形式。例如,當考慮的函數族是由某一橢圓型方程(特別是Δu=pu)在Ω上的格林函數G┡(x,y)的商
e(x)為確定的有界正解)組成時,可得到橢圓馬丁邊界Δ┡,並進而可研究Ω的橢圓維數,所考慮的方程的解空間的結構以及Δ┡與其他邊界的關係等。
馬丁邊界可翻譯成概率的語言並在隨機過程論中得到應用與推廣。

8局部緊阿貝爾群上位勢論

由於拓撲學和代數學,特別是群上傅里葉分析的發展,使這種群上的位勢論取得了豐富的成果。
G是局部緊阿貝爾群,若對G上一個測度網(μα)α∈A,存在一測度μ,使對任意ƒCc。(支柱緊的連續函數全體),均有,則稱(μα)α∈A渾收斂於μ
G上一正測度集合 (μt)t>0, 滿足以下條件:① μt(G)≤1,t>0;②,s>0;③渾收斂於狄喇克測度ε0;④渾積分存在,則稱(μt)t>0是G上一個遷移測度卷積半群。K=稱為它所對應的位勢核。若測度 ,
則測度K*σ就稱為K位勢。
一個正測度ξ稱為關於(μt)t>0是過度的,若對所有t>0,ξ是μt上調和,即μt*ξ ≤ξ;一個正測度ξ 稱為關於(μt)t>0是不變的,若對所有t>0,ξ是μt調和的,也就是μt*ξ=ξ。每一個K位勢必為過度測度;反之,每一個過度測度必是單調增加K位勢網的渾極限。對過度測度ξ,里斯分解定理成立,也就是ξ=K*σ+ησD(K);η是不變測度。
若,其中正測度μ滿足μ(G)≤1,μn重卷積,μ=ε0 則稱v為基本核。若K為位勢核,則λK+ε0,λ>0,必為基本核。基本核對所有開集滿足掃除原理,所以位勢核K對所有開集也滿足掃除原理。
若ω是開集,ξ是過度測度,測度是過度測度,在稱為ξ在ω上的簡化測度。對簡化測度,里斯分解定理仍成立。利用簡化測度可證明平衡分佈原理和正質量原理;也就是若σ1,σ2∈DK),且,則有σ1(G)≤σ2(G)。在1978年,還證明了電容器原理,即若ωGG上哈爾測度,Ω0,Ω1是一對開集 捙0∩捙1=═, 且捙0是緊的,那麼存在正測度μ0,μ1∈D(K),使得滿足:①0≤ξ ≤ωG;②ξ =ωGΩ0;③ξ =0在Ω1;④支柱 。
關於位勢核K在理想邊界的性質,能量有限複測度空間的完備化以及廣義函數的引入等,都有了一系列很好的結果。
如果把上述遷移測度卷積半群 (μt)t>0所滿足的條件①、③放寬為渾收斂於μs,t,s>0和μ0=ε0,測度就稱為亨特核。亨特核滿足掃除原理和推廣的電容器原理。
x為局部緊豪斯多夫空間,ξ 為x上一個處處稠密正拉東測度(對任意非空開集ω,ξ(ω)>0),由x上一族局部ξ可積的複函數u(x)組成的希爾伯特空間D=D(x,ξ),若滿足下列三條公理:①對任一緊集K,存在一數A(K)>0,使得;②Cc∩DD中和Cc中稠密;③對複平面上每一個正常收縮映射T和任一uD,有TuD,且‖Tu‖≤‖u‖,則稱D(x,ξ)為ξ狄利克雷空間。若對uD,存在一拉東測度μ,使得,φCc∩D,則稱uμ的位勢。在ξ 狄利克雷空間中,也有相應的電容器原理、平衡分佈原理和掃除原理等。

9公理化位勢論

由於位勢論的大部分結果都可由其狄利克雷問題、極值原理和收斂性質三個基本原理導出,且為了適應偏微分方程和隨機過程的需要,公理化位勢論,即調和空間理論迅速地發展起來,它提供了統一處理問題的方法。從50年代起,G.L.陶茨、杜布和M.布雷洛特等在這方面做了開創性的工作,C.康斯坦丁斯庫和A.科尼在70年代初期建立了一般調和空間理論。
一般公理系統  又稱康斯坦丁斯庫-科尼公理系統。在一個局部緊、第二可數的豪斯多夫空間X的每一開集U上,給出一個由一族不取值-∞的下半連續函數組成的凸錐U(U),所有這些函數的全體構成x上的一個函數簇U。拓撲空間x上的函數簇是指定義在x的開集上滿足下列條件的一個映射U:①對於x的任意開集U,U(U)是U上的函數集;②對於X的任意開集UVUV,若ƒ∈U(V),則ƒ|U∈U(U);③對於x的任意開集族(Uα)α∈A,一個上的函數ƒ,若對一切α ∈A,,則。U稱為x上的超調和簇,凸錐U(U)中的函數叫做U上的超調和函數。超調和是局部性質。
在一個開集上,一個函數u稱為亞調和函數,如果-u是超調和的,若一個函數h既是超調和亦是亞調和,則說h是調和函數。
一個開集U稱為可解集,如果在U上超調和函數的極小值原理成立,並且每一ƒCcU)在U內的廣義狄利克雷問題是可解的。ƒ的解HU上可表示為調和測度μ的積分,μ分佈在дU上且大於等於零。
一般公理系統包括如下四個公理:
正(P)公理 x上的每一點都存在有該點的一個開鄰域上的一個調和函數,使它在該點取正值。
可解(R)公理 可解集全體構成拓撲空間x的一個拓撲基。
完備(C)公理 在一個開集U上,任一不取-∞的下半連續函數u若滿足在U的每一相對緊的可解子集V(堸嶅U)上,,則u∈U(U)。
鮑厄收斂(BC)性質 單調增加、局部一致有界的調和函數列的極限仍是調和函數。
滿足上述公理的有序偶(x,U)叫做調和空間(或叫CC調和空間)。
布雷洛特公理系統  在一局部緊、第二可數的豪斯多夫空間x上一個調和函數簇H滿足如下公理。
① 每一開集U上的調和函數全體H(U)是C(U)的一個線性子空間。
② 正則區域構成x的一個拓撲基。
所謂正則區域即一個相對緊的區域V,其邊界дV上的每一連續函數都可唯一地開拓成為V上的調和函數H抦,並且當ƒ≥0時H抦≥0。
③ 區域上的單調增加的調和函數列的極限是調和函數或恆等於+∞。
有序偶(x,H)叫做布雷洛特調和空間,它是第一個完善的公理系統。布雷洛特調和空間上的位勢論與經典位勢論最為接近。
此外,比較典型的還有鮑厄-博博克-康斯坦丁斯庫-科尼公理系統(簡稱BBCC公理系統)。二階橢圓型偏微分方程滿足布雷洛特公理系統,但熱傳導方程卻不滿足布雷洛特公理系統,而滿足BBCC公理系統。一個布雷洛特調和空間是一個BBCC調和空間,而BBCC調和空間是一般的CC調和空間。布雷洛特公理系統嚴格強於BBCC公理系統,而BBCC公理系統又嚴格強於一般公理系統。設U是調和空間(x,U)的開子集,uU上超調和函數,若在U的每一相對緊的可解子集V(堸嶅U)上,是調和函數,則u叫做上調和函數。-u叫做下調和函數。上、下調和函數在一個稠密集上取有限數值。以 0為最大調和下屬的非負上調和函數叫做位勢。在調和空間中,相應的里斯分解定理仍然成立。
對於布雷洛特調和空間,R.M.埃爾韋證明了,在滿足一定條件下,若區域上存在正位勢,則格林函數也存在。一個布雷洛特調和空間若存在一個相容的對稱格林函數系,稱為自共軛調和空間,其原型來自偏微分方程Δuu。F.Y.馬埃達通過引入梯度測度的概念,在自共軛調和空間上建立了廣義格林公式。

10位勢論與概率論的聯繫

角谷靜夫、卡茨、杜布等人首先發現了布朗運動與古典位勢論有密切的聯繫;亨特則發現通過一大類非常返馬爾可夫過程可以深入研究位勢論;後來,F.L.斯皮策用隨機遊動,J.G.凱梅尼和J.L.斯內爾用馬爾可夫鏈首先研究了常返的位勢理論。
位勢論與概率論的密切聯繫,最明顯的是,決定一個馬爾可夫過程的轉移函數可以用來定義位勢論中的格林函數。位勢論中的許多概念和原理都有明確的概率意義,特別體現在上鞅理論中,比如上調和函數相應於上鞅。位勢論中的法圖型邊界極限理論相應於上鞅收斂理論;單調上調和函數列的極限性質與單調上鞅的極限過程性質頗為相似;某些上調和函數、上鞅稱為位勢,它們在各自的理論中都有與之關聯的測度,都遵從只涉及這些測度支柱的控制原理,以及在概率論與位勢論中,都存在一個性質相同的簡化測度,它導出與位勢相關聯的測度的掃除等等。
以布朗運動為例,設x(t),t≥0為R上的標準布朗運動,{px},xR為相應的概率測度族,px以為密度,而p(t,x,y)構成強馬爾可夫轉移半群。令(B為波萊爾代數),稱τBx(t)首中B的時間,稱TB=τ為首退出B的時間。若對任意xR都有px(τB<∞)=0,則說B是極集;若px(τB=0)=1,則說xB的正則點。對n≥3,令 ,
gμμ是拉東測度)就是牛頓位勢(當n=2時為對數位勢),極集是牛頓零容集。
設區域,A∈B稱為布朗運動的退出分佈,則HD(x,·)就是Dx點的調和測度。又設φ(x)在дD基本有界,則就是廣義狄利克雷問題的解。令;則GD(xy)就是D上的格林函數。如果u是上調和函數, 在滿足一些適當的條件后,u(x(t))是上鞅。
在馬丁空間也可以構造布朗運動。此外,利用隨機積分方程的方法可以構造一般C級流形上的擴散過程,因此可以用概率方法研究馬丁空間和C黎曼流形上的位勢論。由於位勢論與概率論存在密切的聯繫,使得位勢論有了明顯的概率意義而位勢論也為概率論的研究提供了一種新的有力的分析工具。

11參考書目

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