標籤: 暫無標籤

1倍立方問題

傳說中,這問題的來源,可追溯到西元前429年,一場瘟疫襲擊了希臘第羅斯島(Delos),造成四分之一的人口死亡。島民們推派一些代表去神廟請示阿波羅的旨意,神指示說:
倍立方問題
要想遏止瘟疫,得將阿波羅神殿中那正立方的祭壇加大一倍。人們便把每邊增長一倍,結果體積當然就變成了8倍,瘟疫依舊蔓延;接著人們又試著把體積改成原來的2倍,但形狀卻變為一個長方體……第羅斯島人在萬般無奈的情況下,只好鼓足勇氣到雅典去求救於當時著名的學者柏拉圖。
開始,柏拉圖和他的學生認為這個問題很容易。他們根據平時的經驗,覺得利用尺規作圖可以輕而易舉地作一個正方形,使它的面積等於已知正方形的2倍,那麼作一個正方體,使它的體積等於已知正方體體積的2倍,還會難嗎?結果,……但是,柏氏門徒當時倒有兩件差點成功的作法:

2註解

註:『求體積是稜長 a 的立方體的2倍的立方體』,這問題可以轉化為『求在 a 與 2a 之間插入二數x,y,使 a,x,y,2a 成等 比數列』 即 a:x=x:y=y:2a 故x2 =ay , y2=2ax , xy= 2a2從而 x3=a(xy)=a(2a2) , 故 x3=2a3    則 稜長 x 的立方體即為所求 。 1. 已知:線段 a     求作:對角線互相垂直的直角梯形ABCD,使得                  ,
作法二
作法: 1. 作互相平形且距離為2a的直線M,N*2. 在M,N之間,夾著三個全等的直角三角板,使他們的一個直角邊與M密合,相對頂點在N上*3. 固定最左邊的一個三角尺,且在最右邊的一個三角尺股 上取*4. 滑動右邊及中間的三角尺,使每個三角尺的斜邊與相鄰三角尺股交點(R及S)與E,Q共線,則 即為所求。

作法三

3. [以下是西元前350年希臘數學家梅內克繆斯Menaechmus)的作法]    已知:線段 a    求作:線段x,y,使得a:x=x:y=y:2a     作法: *1. 作拋物線 [其中頂點(0,0),對稱軸y軸,過(a,a)]               *2. 作拋物線 [其中頂點(0,0),對稱軸x軸,過( ,a)]                    ¸ 二拋物線交於P點                    3. 過P作 ,則   即為所求 4. [西元前150年戴可利斯(Diocles)發明一種蔓葉線(cissoid)       ,此為三次曲線,它可解倍立方問題   作法:1. 是圓O內互相垂直的直徑             2. E點在弧BC上,Q點在弧BD上,並滿足            *3. 作 於H,交 於P,(P點的軌跡就是蔓葉線)              4. 則     討論:應用原理為 a:x=x:y=y:2a  
上一篇[藍魔T11]    下一篇 [藍調Nv33]

相關評論

同義詞:暫無同義詞