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一般來說,元數學是一種將數學作為人類意識和文化客體的科學思維或知識。更進一步來說,元數學是一種用來研究數學和數學哲學的數學。「數學的數學」是於19世紀初由通常的數學分離出來的,它最初研究的對象是在所謂的數學危機。將二者混為一談會導致一些矛盾,典型例子有理查茲悖論。
比如說,元數學的主題之一就是:分析某些數學要素是否在任意的數學系統中都是可證實或者證偽的。
許多關於數學基礎與數學哲學的論說都涉及元數學的概念,它們往往不能被當作我們通常所說的「問題」來處理。元數學的基本假設是:數學的內容可以由一個形式系統獲得,比如一個序理論或一個公理化集合論。
元數學與數理邏輯休戚相關,因而這兩者的發展也大同小異。元數學的發端大概要追溯到弗雷格的工作:《概念文字》。大衛·希爾伯特首先引進了帶有正則性的「元數學」(metamathematics with regularity)這一說法(見希爾伯特計劃)。這也就是現在所說的證明論。另一個重要的現代分支是模型論。這一領域的其他重要人物有:伯特蘭·羅素,斯科爾姆(Thoralf Skolem),普斯特(Emil Post),邱奇,克萊尼,蒯因,貝納瑟拉夫(Paul Benacerraf),普特南,柴汀(Gregory Chaitin),以及最著名的塔斯基和哥德爾。特別地,哥德爾證明了:給定任意有限多條皮亞諾算術的公理,都存在一些正確的命題,無法用所給公理來證明,即所謂的哥德爾不完備定理。某種意義上來說,這一結果是迄今為止元數學與數學哲學的最高成就。
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