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克羅內克
克羅內克(Kronecker,Leopold;1823~1891)
德國數學家。對代數和代數數論,特別是橢圓函數理論有突出貢獻。1823年12月7日生於德國布雷斯勞附近的利格尼茨(現屬波蘭的萊格尼察),1891年12月29日卒於柏林。他1841年入柏林大學,1845年獲博士學位。1861年經E.E.庫默爾推薦,成為柏林科學院正式成員,並以此身份在柏林大學授課。1868年當選為巴黎科學院通訊院士。1880年任著名的「克雷爾雜誌」的主編。1883年接替庫默爾成為柏林大學教授,時年60歲。1884年成為倫敦皇家學會國外成員。
克羅內克最主要的功績在於努力統一數論、代數學和分析學的研究。克羅內克的數學觀對後世有極大影響。他主張分析學應奠基於算術,而算術的基礎是整數。他的名言是:「上帝創造了整數,其餘都是人做的工作」,反映了他對當時的分析學持批判態度。他作為直覺主義的代表人物,還曾極力反對G.康托爾的集合論。
克羅內克(Kronecker,Leopold;1823~1891)定理
設θ為正無理數,α為實數,則對任給正數ε,都存在兩個正整數m,n,使得
∣nθ-m+α∣<ε。
α=0的特殊情況稱為狄利克雷定理。
矩陣的Kronecker乘法
對n×m階矩陣A和p×q階矩陣B,A和B的Kronecher乘法運算可定義為:
注意:右圖中A為m*n維矩陣
克羅內克
由上面的式子可以看出,Kronecker乘積A B表示矩陣A的所有元素與B之間的乘積組合而成的較大的矩陣,B A則完全類似.A B和B A均為np×mq矩陣,但一般情況下A B B A.和普通矩陣的乘法不同, Kronecker乘法並不要求兩個被乘矩陣滿足任何維數匹配方面的要求,Kronecker乘法的Matlab命令為C=kron(A,B),例如給定兩個矩陣A和B:
A= B=
則由以下命令可以求出A和B的Kronecker乘積C:
A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B)
C =
1 3 2 2 6 4
2 4 6 4 8 12
3 9 6 4 12 8
6 12 18 8 16 24
作為比較,可以計算B和A的Kronecker乘積D,可以看出C、D是不同的:
A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; D=kron(B,A)
D =
1 2 3 6 2 4
3 4 9 12 6 8
2 4 4 8 6 12
6 8 12 16 18 24
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