標籤:代數公式

克萊姆法則(Cramer's Rule)是線性代數中一個關於求解線性方程組的定理。它適用於變數和方程數目相等的線性方程組,是瑞士數學家克萊姆(1704-1752)於1750年,在他的《線性代數分析導言》中發表的。

1基本介紹

假若有n個未知數,n個方程組成的方程組:

克萊姆法則

克萊姆法則
a11X1+a12X2+...+a1nXn = b1,
a21X1+a22X2+...+a2nXn = b2,
......
an1X1+an2X2+...+annXn = bn.
或者寫成矩陣形式為Ax=b,其中A為n*n方陣,x為n個變數構成列向量,b為n個常數項構成列向量。
而當它的係數矩陣可逆,或者說對應的行列式|A|不等於0的時候,它有唯一解xi=|Ai|/|A|,其中Ai〔i = 1,2,……,n〕是矩陣A中第i列的a 1i,a 2i,……a ni (即第i列)依次換成b1,b2,……bn所得的矩陣。
克萊姆法則不僅僅適用於實數域,它在任何域上面都可以成立。
使用克萊姆法則求線性方程組的解的演算法時間複雜度可以達到O(n^3),這個時間複雜度同其它常用的線性方程組求解方法,比如高斯消元法相當。
當b1,b2,...,bn不全為0時,方程組為非齊次性方程組。
係數矩陣A非奇異時,或者說行列式|A|≠0時,方程組有唯一的解;
係數矩陣A奇異時,或者說行列式|A|=0時,方程組有無數個解。
當b1=b2=...=bn=0時,方程組為齊次性方程組。
若係數矩陣A非奇異時,則方程組有唯一的解,其所有分量均為0,我們通常稱這個解為平凡解。
若齊次線性方程組有非零解,係數矩陣必然奇異,或者說對應的係數行列式必為0。
其實萊布尼茲〔1693〕,以及馬克勞林〔1748〕亦知道這個法則,但他們的記法不如克萊姆。

2內容要點

n元線性方程組的概念
從三元線性方程組的解的討論出發,對更一般的線性方程組進行探討。
在引入克萊姆法則之前,先引入有關n元線性方程組的概念。
含有n個未知數的線性方程組稱為n元線性方程組。當其右端的常數項不全為零時,線性方程組⑴稱為非齊次線性方程組,當全為零時,線性方程組⑵稱為齊次線性方程組,即:
克萊姆法則
克萊姆法則
線性方程組⑴的係數構成的行列式稱為該方程組的係數行列式D,即
克萊姆法則
克萊姆法則
定理
定理1 (克萊姆法則)若線性方程組⑴的係數行列式 D≠0,則線性方程組⑴有唯一解,其解為
其中是把D中第j列元素對應地換成常數項而其餘各列保持不變所得到的行列式。
克萊姆法則
克萊姆法則
克萊姆法則
克萊姆法則
一般來說,用克萊姆法則求線性方程組的解時,計算量是比較大的. 對具體的數字線性方程組,當未知數較多時往往可用計算機來求解. 用計算機求解線性方程組目前已經有了一整套成熟的方法.
克萊姆法則在一定條件下給出了線性方程組解的存在性、唯一性,與其在計算方面的作用相比,克萊姆法則更具有重大的理論價值. 撇開求解公式⑶,克萊姆法則可敘述為下面的定理.
定理2;如果線性方程組⑴的係數行列式 D≠0

3法則總結

1:克萊姆法則的重要理論價值:研究了方程組的係數與方程組解的存在性與唯一性關係;
2:應用克萊姆法則判斷具有N個方程、N個未知數的線性方程組的解:
(1):當方程組的係數行列式不等於零時,則方程組有解,且具有唯一的解;
(2):如果方程組無解或者有兩個不同的解,那麼方程組的係數行列式必定等於零;
3:克萊姆法則的局限性:
(1):當方程組的方程個數與未知數的個數不一致時,或者當方程組係數的行列式等於零時,克萊姆法則失
效。
(2):運算量較大,求解一個N階線性方程組要計算N+1個N階行列式。

4技術應用

克萊姆法則在解決微分幾何方面十分有用。
先考慮兩條等式和。因為u和v都是沒相關的變數,我們可定義和。
找出一條等式適合是克萊姆法則的簡單應用。
首先,我們要計算F、G、x和y的導數:
將dx和dy代入dF和dG,可得出:
因為u和v都沒有關係,所以du和dv的係數都要等於0。所以等式中的係數可以被寫成:
用克萊姆法則就可得到:
用兩個雅可比矩陣來表示的方程:
用類似的方法就可以找到、以及。

5作者介紹

克萊姆(Cramer,Gabriel,瑞士數學家 1704-1752)
克萊姆

  克萊姆

克萊姆1704年7月31日生於日內瓦,早年在日內瓦讀書,1724 年起在日內瓦加爾文學院任教,1734年成為幾何學教授,1750年任哲學教授。他自 1727年進行為期兩年的旅行訪學。在巴塞爾與約翰.伯努 利、歐拉等人學習交流,結為摯友。后又到英國、荷蘭、法國等地拜見許多數學名家,回國后在與他們的長期通信 中,加強了數學家之間的聯繫,為數學寶庫也留下大量有價值的文獻。他一生未婚,專心治學,平易近人且德高望 重,先後當選為倫敦皇家學會、柏林研究院和法國、義大利等學會的成員。主要著作是《代數曲線的分析引論》(1750),首先定義了正則、非正則、超越曲線和無理曲線等概念,第一 次正式引入坐標系的縱軸(Y軸),然後討論曲線變換,並依據曲線方程的階數將曲線進行分類。為了確定經過5 個點的一般二次曲線的係數,應用了著名的「克萊姆法則」,即由線性方程組的係數確定方程組解的表達式。該法則於1729年由英國數學家馬克勞林得到,1748年發表,但克萊姆的優越符號使之流傳。
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