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在數學中,若一個二維平面上的多邊形的每條邊都能與多邊形內部的一個圓形相切,該圓就是多邊形的內切圓,這時稱這個多邊形為圓外切多邊形。它亦是多邊形內部最大的圓形。內切圓的圓形被稱為該多邊形的內心。

1 內心 -內心

數學解釋

在數學中,若一個二維平面上的多邊形的每條邊都能與多邊形內部的一個圓形相切,該圓就是多邊形的內切圓,這時稱這個多邊形為圓外切多邊形。它亦是多邊形內部最大的圓形。內切圓的圓形被稱為該多邊形的內心

一個多邊形至多有一個內切圓,也就是說對於一個多邊形,它的內切圓,如果存在的話,是唯一的。並非所有的多邊形都有內切圓。三角形和正多邊形一定有內切圓。擁有外接圓的四邊形被稱為圓外切四邊形

其他解釋
  [heart]∶心中;心裡;內心深處;內心的痛苦 
  1. 謂出於真誠。
  《禮記·禮器》:「禮之以多為貴者,以其外心者也……禮之以少為貴者,以其內心者也。」 鄭玄 註:「內心,用心於內,其德在內。」
  2. 心在體內,故稱為內心。亦指心中、心裡頭。
  漢 劉向 《說苑·脩文》:「是故服不成象,而內心不變。」《凈印法門經》卷一:「內心寂靜若虛空,外觀世間猶如幻。」 巴金 《懷念蕭珊》一:「內心的痛苦象一鍋煮沸的水,她怎麼能遮蓋住!」

2 內心 -三角形內心

 內心是三角形三條內角平分線的交點,即內切圓的圓心。

內心銳角三角形內心

內心定理:三角形的三內角平分線交於一點。

三角形內心的性質:

      設⊿ABC的內切圓為☉I,I為ΔABC的內心,內切圓半徑為r,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,p=(a b c)/2.
  1、三角形的三條角平分線交於一點,該點即為三角形的內心.


  2、三角形的內心到三邊的距離相等,都等於內切圓半徑r.

內心直角三角形內心,r=(a b-c)/2


  3、I在BC、AC、AB上射影分別為D、E、F;令p = (a b c) /2 , 則⑴S ΔABC = p r;⑵ abcr = p•AI•BI•CI; ⑶AE = AF = p-a ,BD = BF = p-b , CE = CD = p-c ;若ΔABC內一點P在BC、CA、AB上的射影分別為D、E、F,當P與I重合時,BC/AP CA/PE AB/PF 的值最小。


  4、在Rt△ABC中,∠C=90°,r=(a b-c)/2。


  5、∠BIC=90° A/2,類似地還有兩式。


  6、點O是平面ABC上任意一點,點I是⊿ABC內心的充要條件是:
  a(向量OA) b(向量OB) c(向量OC)=向量0.

  7、點O是平面ABC上任意一點,點I是⊿ABC內心的充要條件是:

內心鈍角三角形內心

向量OI=[a(向量OA) b(向量OB) c(向量OC)]/(a b c).


  8、⊿ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),那麼⊿ABC內心I的坐標是:   (ax1/(a b c) bx2/(a b c) cx3/(a b c),ay1/(a b c) by2/(a b c) cy3/(a b c)).


  9、(歐拉定理)⊿ABC中,R和r分別為外接圓為和內切圓的半徑,O和I分別為其外心和內心,則OI^2=R^2-2Rr.


  10、(內角平分線分三邊長度關係)
  ⊿ABC中,0為內心,∠A 、∠B、 ∠C的內角平分線分別交BC、AC、AB於Q、P、R, 則BQ/QA=a/b, CP/PA=a/c, BR/RC=c/b。      

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