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在數學裡面,內積空間就是增添了一個額外的結構的向量空間。這個額外的結構叫做內積,或標量積,或點積。這個增添的結構允許我們談論向量的角度和長度。內積空間由歐幾里得空間抽象而來,這是泛函分析討論的課題。
內積空間有時也叫做准希爾伯特空間,因為由內積定義的距離完備化之後就會得到一個希爾伯特空間。
在早期的著作中,內積空間被稱作酉空間,但這個詞現在已經被淘汰了。在將內積空間稱為酉空間的著作中,「內積空間」常指任意維(可數/不可數)的歐幾里德空間。

1定義

下文中的數量域F是實數域或複數域。
F上的一個內積空間V備有一個正定、對稱以及雙線性形式,稱作內積(F是複數域時,內積是一個正定、對稱以及共軛雙線性形式):
⟨·, ·⟩: V×VF
滿足以下公理
1. (正定)⟨v, v⟩ ≥ 0
⟨v, v⟩ = 0 當且僅當v = 0,
2. (線性)⟨u, v + w⟩ = ⟨u, v⟩ + ⟨u,w⟩
3. (線性)⟨u, λv⟩ = λ⟨u, v⟩
4. (對稱)⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩(F是複數域時,改為⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩的共軛)

2性質

柯西—施瓦茨不等式:
|(x, y)|≦||x||·||y||

3應用

-誘導范數(即長度); 
-定義角度;

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