若微分形式的一階方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的左端恰好是一個二元函數U(x,y)的全微分,即 dU(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
則稱Pdx+Qdy=0為全微分方程或恰當微分方程,顯然,這時該方程的通解為U(x,y)=C(C是任意常數).
根據二元函數的全微分求積定理:設開區域G是一單連通域,函數P(x,y),Q(x,y)在G內具有一階連續偏導數,則P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G內為某一函數u(x,y)的全微分的充要條件是
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
,在G內恆成立.
全微分方程的判斷:
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是全微分方程的充分必要條件是
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
在區域G內恆成立,且當此條件滿足時,方程通解為
u(x,y)=
\int_0^x
P(x,y)dx+
\int_0^y
Q(x,y) = C
上一篇[差分]    下一篇 [方嚮導數]

相關評論

同義詞:暫無同義詞