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1 全稱量化 -概念

  在謂詞邏輯中,全稱量化是嘗試形式化某個事物(邏輯謂詞)對於所有事物或所有有關的事物都為真的概念。結果的陳述是全稱量化后的陳述,我們在謂詞上有了全稱量化。在符號邏輯中,全稱量詞(典型的 "∀")是用來指示全稱量化的符號。

2 全稱量化 -基礎理論

  假設你要說的是

  2・0 = 0 + 0,以及 2・1 = 1 + 1,以及 2・2 = 2 + 2,等等。

  由於「以及」一詞的重複使用,這似乎是一個邏輯合取。然而形式邏輯中的合取概念卻不能表達出「等等」一詞的含義。因此將該命題改述為

  對任意自然數 n,都存在 2・n = n + n。

  這便是一個使用全稱量化的單一命題。

  請注意,事實上該命題比原命題更精確。很明顯,「等等」一詞表示的是要包括所有的自然數、且除此之外不包括任何其它內容,但語言中並沒有明確地陳述這點,這便是「等等」一詞不能被形式地解釋的根本原因。

  這個特定的例子中的命題是真值的,因為可以對 n 取任何自然數都使命題「2・n = n + n」成立。反之,命題「對任何自然數 n,都有 2・n > 2 + n」則是假值的,因為舉例來說,將其中的 n 用 1 來取代,就能得到假命題「2・1 > 2 + 1」。儘管對「大多數」自然數 n 來說,命題「2・n > 2 + n」都成立,但只要存在一個反例便足以舉證該全稱命題為假。

  另一方面,「對任何合數n,都有 2・n > 2 + n」是真命題,因為所有的反例均不是合數。這說明了論域的重要性,其指定了 n 可以取哪些值。然而特別地須注意,如欲將論域限定為僅由滿足一特定謂詞的對象組成時,則對全稱量化來說,要使用一個邏輯條件來實現。例如,命題「對任何合數 n,都有「2・n > 2 + n」是邏輯等價於命題「對任何自然數 n,如果 n 為合數,則 2・n > 2 + n」的。這裡的「如果……則」結構指出了邏輯的條件限制。

  在符號邏輯中,我們使用全稱量詞「∀」(一個倒置的無襯線體字母「A」)來說明全稱量化。從而,若命題P(n)陳述的是「2・n > 2 + n」,且N是自然數集的話,則

  ∀n∈N P(n) 表示的即是(假)命題

  「對任何自然數集n,都有 n, 2・n > 2 + n」。

  類似地,若命題 Q(n) 陳述的是 「n 為合數」,則

  ∀n∈N Q(n)→P(n)表示的是(真)命題

  「對任何合數 n,都有 2・n > 2 + n」。 這裡給出一種僅用於表示全稱量化的特殊符號表示:

  (n∈N) P(n)

  默認情況下,圓括弧表示的是全稱量化。

3 全稱量化 -性質

否定

  注意到一個量化的命題函數的結果是一個命題;因此象命題一樣,量化的函數也可被否定。數學家和邏輯學家用來表示否定的符號是:�。

  舉例來說,定義 P(x) 為命題函數「x 已婚」;則對所有活人組成的論域 X,考慮全稱量化「對給定的任何活人 x,此人都已婚」:

  ∀x∈X P(n)

  只用幾秒鐘的考慮就能證明這個命題無可改變地為假;於是我們可以切實地說:「並非都是這樣的情況,即:對給定的任何活人 x,此人都已婚」,或以符號記作:

  �∀x∈X P(n)

  .

推理規則

  推理規則是指由假設到結論的過程中證明一個邏輯步驟成立的規則。有若干推理規則利用了全稱量詞。

  普遍例證(Universal instantiation)推定出的結論是這樣的:若已知命題函數普遍成立,則其必對論域中任何隨意給出的元素均成立。將此符號化地表示為

  ∀x∈X P(x) → P(c)

  其中 c 是論域中可完全隨意確定的某個元素。

  普遍概括(Universal generalization)推定出的結論是這樣的:若命題函數對論域中任何隨意給出的元素均成立,則其普遍成立。以符號表示為:對某個可隨意確定的 c,

  P(c) → ∀x∈X P(x)

  特別重要的是必須注意到,c 必須是完全隨意確定的;否則便不能遵循該邏輯:若 c 不是隨意確定的、而是論域中的一個特定元素,則 P(c) 僅說明蘊意著該命題函數的某個存在量化可成立。

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