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全等三角形指兩個全等的三角形,而該兩個三角形的三條邊及三個角都對應地相等。全等三角形是幾何中全等的一種。根據全等轉換,兩個全等三角形可以是平移、旋轉、軸對稱,或重疊等。當兩個三角形的對應邊及角都完全相對時,該兩個三角形就是全等三角形。正常來說,驗證兩個全等三角形時都以三個相等部分來驗證,最後便能得出結果。

全等三角形全等三角形

全等三角形指兩個全等的三角形,而該兩個三角形的三條邊及三個角都對應地相等。全等三角形是幾何中全等的一種。根據全等轉換,兩個全等三角形可以是平移、旋轉、軸對稱,或重疊等。當兩個三角形的對應邊及角都完全相對時,該兩個三角形就是全等三角形。正常來說,驗證兩個全等三角形時都以三個相等部分來驗證,最後便能得出結果。

1 全等三角形 -定義

能夠完全重合的兩個三角形稱為全等三角形。(註:全等三角形是相似三角形中的特殊情況)
當兩個三角形完全重合時,互相重合的頂點叫做對應頂點,互相重合的邊叫做對應邊,互相重合的角叫做對應角。
由此,可以得出:全等三角形的對應邊相等,對應角相等。
(1)全等三角形對應角所對的邊是對應邊,兩個對應角所夾的邊是對應邊;
(2)全等三角形對應邊所對的角是對應角,兩條對應邊所夾的角是對應角;
(3)有公共邊的,公共邊一定是對應邊;
(4)有公共角的,角一定是對應角;
(5)有對頂角的,對頂角一定是對應角;

2 全等三角形 -簡介

全等三角形全等三角形
 能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形,「全等」用符號「≌」表示,讀作「全等於」。
當兩個三角形完全重合時,互相重合的頂點叫做對應頂點,互相重合的邊叫做對應邊,互相重合的角叫做對應角。
由此,可以得出:全等三角形的對應邊相等,對應角相等。

證明:有3種

1.三組對應邊分別相等(簡稱SSS)

2.有一個角和夾這個角的兩條夾邊對應相等的兩個三角形全等(SAS)

3.有兩個角和這兩個角的夾邊對應相等的兩個三角形全等(ASA)

注:S是邊的英文縮寫,A是角的英文縮寫

由3可推到

4.有兩角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等(AAS)

並且由這些可證明:

線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等.

角平分線上的點到角兩邊的距離相等

還有一種判定方法

直角三角形獨有:

斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(HL)

3 全等三角形 -判定公理

1、三組對應邊分別相等的兩個三角形全等(簡稱SSS或「邊邊邊」),這一條也說明了三角形具有穩定性的原因。
2、有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等(SAS或「邊角邊」)。 3、有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等(ASA或「角邊角」)。
4、有兩角及一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(AAS或「角角邊」)
5、直角三角形全等條件有:斜邊及一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(HL或「斜邊,直角邊」)
     所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均為判定三角形全等的定理。
  注意:在全等的判定中,沒有AAA和SSA,這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀。

4 全等三角形 -推論

三角形全等的判定公理及推論有:
(1)「邊角邊」簡稱「SAS」
(2)「角邊角」簡稱「ASA」
(3)「邊邊邊」簡稱「SSS」
(4)「角角邊」簡稱「AAS」
注意:在全等的判定中,沒有AAA和SSA,這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀。 

5 全等三角形 -性質

全等三角形的性質:
全等三角形的對應角相等、對應邊相等。
注意:
1)性質中三角形全等是條件,結論是對應角、對應邊相等。
而全等的判定卻剛好相反。
2)利用性質和判定,學會準確地找出兩個全等三角形中的對應邊與對應角是關鍵。在寫兩個三角形全等時,一定把對應的頂點,角、邊的順序寫一致,為找對應邊,角提供方便。

6 全等三角形 -推論

要驗證全等三角形,不需驗證所有邊及所有角也對應地相同。以下判定,是由三個對應的部分組成,即全等三角形可透過以下定義來判定:

S.S.S. (Side-Side-Side)(邊、邊、邊):各三角形的三條邊的長度都對應地相等的話,該兩個三角形就是全等。
S.A.S. (Side-Angle-Side)(邊、角、邊):各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等,且兩條邊夾著的角都對應地相等的話,該兩個三角形就是全等。
A.S.A. (Angle-Side-Angle)(角、邊、角):各三角形的其中兩個角都對應地相等,且兩個角夾著的邊都對應地相等的話,該兩個三角形就是全等。
A.A.S. (Angle-Angle-Side)(角、角、邊):各三角形的其中兩個角都對應地相等,且沒有被兩個角夾著的邊都對應地相等的話,該兩個三角形就是全等。
R.H.S. / H.L. (Right Angle-hypotenuse-Side)(直角、斜邊、邊):各三角形的直角、斜邊及另外一條邊都對應地相等的話,該兩個三角形就是全等。
但並非運用任何三個相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同樣是運用兩個三角形的三個相等的部分,但不能判定全等三角形:

A.A.A. (Angle-Angle-Angle)(角、角、角):各三角形的任何三個角都對應地相等,但這並不能判定全等三角形,但則可判定相似三角形。
A.S.S. (Angle-Side-Side)(角、邊、邊):各三角形的其中一個角都相等,且其餘的兩條邊(沒有夾著該角),但這並不能判定全等三角形,除非是直角三角形。但若是直角三角形的話,應以R.H.S.來判定。

7 全等三角形 -運用

1、性質中三角形全等是條件,結論是對應角、對應邊相等。 而全等的判定卻剛好相反。
2、利用性質和判定,學會準確地找出兩個全等三角形中的對應邊與對應角是關鍵。在寫兩個三角形全等時,一定把對應的頂點,角、邊的順序寫一致,為找對應邊,角提供方便。
3,當圖中出現兩個以上等邊三角形時,應首先考慮用SAS找全等三角形。
4、用在實際中,一般我們用全等三角形測等距離。以及等角,用於工業和軍事。有一定幫助。

8 全等三角形 -例題分析

例1: (2006·浙江金華) 如圖1,△ABC與△ABD中,AD與BC相交於O點,∠1=∠2,請你添加一個條件(不再添加其它線段,不再標註或使用其它字母),使AC=BD,並給出證明.
你添加的條件是: .
證明:
分析: 要說明AC=BD,根據圖形想到先說明△ABC≌△BAD,題目中已經知道∠1=∠2,AB=AB,只需一組對邊相等或一組對角相等即可.
解:添加的條件是:BC=AD.
證明:在△ABC與△BAD中,∠1=∠2,AB=AB,∠A=∠A'
∴ △ABC≌△BAD(SAS).
∴ AC=BD.
小結:本題考查了全等三角形的判定和性質,答案不惟一,若按照以下方式之一來添加條件:①BC=AD,②∠C=∠D,③∠CAD=∠DBC,④∠CAB=∠DBA,都可得△CAB≌△DBA,從而有AC=BD.
二、綜合開放型
例2 (2006·攀枝花)如圖2,點E在AB上,AC=AD,請你添加一個條件,使圖中存在全等三角形,並給予證明.
所添條件為_______________.
你得到的一對全等三角形是:
△ ≌△ .
證明:
分析:   在已知條件中已有一組邊相等,另外圖形中還有一條公共邊,因此再添這兩邊的夾角相等或另一組對邊也相等即可得出全等三角形.
解:所添條件為CE=ED.
得到的一對全等三角形是△CAE≌△DAE.
證明:在△CAE和△DAE中,AC=AD,AE=AE,CE=DE,
所以 △CAE≌△DAE(SSS).
小結:  本題屬於條件和結論同時開放的一道好題目,題目本身並不複雜,但開放程度較高,能激起同學們的發散思維,值得重視.

9 全等三角形 -參考資料

[1] 21世紀教育網 http://www.21cnjy.com/3/10243_7/
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