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公共弦是數學中的一個用詞,表示的是兩個圓相交時,兩個交點的連線

1 公共弦 -基本概念

  當兩個圓相交時,兩個交點的連線叫公共弦。(若只有一個交點,則稱公共點。)

2 公共弦 -公共弦方程

  兩個圓若是相交,則至多交於2點。而將兩圓的方程相減即是默認兩條方程中有共同的解X、Y。而減后的方程必定滿足X、Y(就是兩個交點),換句話說,就是兩個交點所共同滿足的直線方程。而我們知道,平面內2點間有且只有1條直線,那麼這條直線就是所求的公共弦。

3 公共弦 -相交兩圓的公共弦所在的直線方程

  若圓C1:(x-a1)^2+(y-b1)^2=r1^2或x2+y2+D1x+E1y+F1=0

  圓C2:(x-a2)^2+(y-b2)^2=r2^2或x2+y2+D2x+E2y+F2=0

  則過兩圓交點的直線方程為:(x-a1)^2+(y-b1)^2-(x-a2)^2-(y-b2)^2=r1^2-r2^2 或 (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0

  這是「兩相交圓方程相減得公共弦方程」的變式

  設兩圓分別為

  x^2+y^2+c1x+d1y+e1=0 ①

  x^2+y^2+c2x+d2y+e2=0 ②

  兩式相減得

  (x^2+y^2+c1x+d1y+e1)-(x^2+y^2+c2x+d2y+e2)=0 ③

  這是一條直線的方程

  (1)先證這條直線過切點

  設切點為(x0,y0)則滿足①②

  所以滿足③

  所以切點在直線③上

  (2)再證圓與這條直線有且只有一個交點

  設圓①上還有另外一點(x1,y1)在直線③上

  (x1,y1與x0,y0不同時相等,也可以寫作(x0-x1)^2+(y0-y1)^2≠0)

  則(x1,y1)滿足①③

  所以(x1,y1)滿足②

  所以(x1,y1)是圓①和圓②的另一個交點

  與兩圓外切矛盾

  所以圓與這條直線有且只有一個交點

  綜上所述,(x^2+y^2+c1x+d1y+e1)-(x^2+y^2+c2x+d2y+e2)=0

  是兩圓的切線

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