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公比是對於等比數列這一特殊數列而言的,是在等比數列中后一項與前一項的商;或者說每一項與它的前一項的比都等於的同一個常數,這個常數就是公比。等比數列的符號與公式 等比數列的符號為:q;公式為:an÷an-1

1 公比 -基本介紹

公比是對於等比數列這一特殊數列而言的,它是指在等比數列中后一項與前一項的商。

2 公比 -公式及符號

等比數列的符號與公式 等比數列的符號為:q;公式為:a<sub>n</sub>÷a<sub>n-1</sub>

等比數列

  如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比等於同一個常數,這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比,公比通常用字母q表示。 
  (1)等比數列的通項公式是:An=A1*q^(n-1)
  若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當q>0時,則可把an看作自變數n的函數,點(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點。
  (2)求和公式:Sn=nA1(q=1) 
  Sn=A1(1-q^n)/(1-q) 
  =(a1-a1q^n)/(1-q)
  =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
  (前提:q不等於 1)
  任意兩項am,an的關係為an=am·q^(n-m)
  (3)從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出: a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n} 
  (4)等比中項:aq·ap=ar*2,ar則為ap,aq等比中項。
  記πn=a1·a2…an,則有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
  另外,一個各項均為正數的等比數列各項取同底數后構成一個等差數列;反之,以任一個正數C為底,用一個等差數列的各項做指數構造冪Can,則是等比數列。在這個意義下,我們說:一個正項等比數列與等差數列是「同構」的。
編輯本段性質
  ①若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,則am·an=ap·aq; 
  ②在等比數列中,依次每 k項之和仍成等比數列. 
  「G是a、b的等比中項」「G^2=ab(G≠0)」.
  ③若(an)是等比數列,公比為q1,(bn)也是等比數列,公比是q2,則
  (a2n),(a3n)…是等比數列,公比為q1^2,q1^3…
  (can),c是常數,(an*bn),(an/bn)是等比數列,公比為q1,q1q2,q1/q2。
  (5) 等比數列前n項之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
  在等比數列中,首項A1與公比q都不為零. 
  注意:上述公式中A^n表示A的n次方。
  (6)由於首項為a1,公比為q的等比數列的通向公式可以寫成an*q/a1=q^n,它的指數函數y=a^x有著密切的聯繫,從而可以利用指數函數的性質來研究等比數列。
編輯本段等比數列的應用
  等比數列在生活中也是常常運用的。
  如:銀行有一種支付利息的方式——複利。
  即把前一期的利息赫本金價在一起算作本金,
  在計算下一期的利息,也就是人們通常說的利滾利。
  按照複利計算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期

3 公比 -公比為士1的等比數列

眾所周知,公比q筍1的等比數列的有些性質對於公比叮二1的等比數列不適用,前。項和公式就是例證.同樣,公比q並一1的等比數列的有些性質對於公比q=一1的等比數列
也不適用.因此在解決等比數列問題時,不可忽視q=1及q=一1的等比數列.
先看下面的命題:
若{a。}是等比數列,鼠,是其前n項和,則
S、,52、一S、,53、一52、,…,氏、一S(。一1)、,
一是等比數列.
很多書刊都視它為真命題,其實這個命題
是一個假命題.現舉反例如下:若{a。}是公比
為一1的等比數列,月_無為偶數時,S、=頭、一
戰=凡、一孔、二••一Snk一s(二一l)*=
…=0
.
…凡,凡k一從,凡、一頭、,…。氏、一
s(。一1)k,…不是等比數列.
當然,在q並一1或q=一1且k是奇數
時,都能得出數列熟,頭、一戰,孔、一凡k,…,
sn、一s(。一1)*,…是等比數列.
同樣我們可以說明命題:
若{a。}是等比數列,則。1+aZ,a:+a3,
a3+a4,…,a。+a。+1,一是等比數列.
是假命題. 下面再舉兩例,說明公比為一1的等比數列
中公比所起的作用.
例1{晰;}是實數構成的等比數列,氏=
內+「2十…十a。,則數列{氏}中.
(A)任一項均不為0;(B)必有一項為氏
(C)至多有有限項為。;
(D)或無一項為0,或無數項為0.
分析若能想到公比為一1的等比數列,立
即可排除(A)、(C).再取等比數列1,2,…,
2「一『,…便可排除(B).…應選(D).
例2求和氏二一1十2一…+(一1)叭幾
分析很多課外書上都用並項法求解,需
對二分類討論,若注意到數列{(一1)「。}就是等
差數列{二}與公比為一1的等比數列{(一1)」}
的對應項的積組成的數列,則可用錯項相減法
求解,避免了分類討論,使解題過程簡化.
解氏二一1+2一3+…+(一1戶幾
一氏=1一2+…+(一l)嘆。一l)+
(一1)「十『。,
兩式相減,得
2氏=一1+1一1+…+(一1)幾一(一1)幾+『。
一11一(一1)幾〕
2
一(一1)「+』。,
:.氏=(2二+1)(一1)幾一14

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