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公理,也就是經過人們長期實踐檢驗、不需要證明同時也無法去證明的客觀規律。

1 公理 -詞語讀音

  拼音:gōnglǐ
  英文:axiom

2 公理 -詞語釋義

  1) 經過人類長期反覆的實踐檢驗是真實的,不需要由其他判斷加以證明的命題和原理。
  2) 某個演繹系統的初始命題。這樣的命題在該系統內是不需要其他命題加以證明的,並且它們是推出該系統內其他命題的基本命題。 基本解釋

  1. [axiom]∶依據人類理性和願望發展起來而共同遵從的道理。
  2. [self-evident truth;generally acknowledged truth]∶經過人類長期反覆實踐的考驗,不需要再加證明的命題。 詳細解釋

  1. 社會上公認的正確道理。
  《三國志·吳志·張溫傳》:「競言艷及選曹郎徐彪 ,專用私情,愛憎不由公理。」 清姚鼐 《禮箋序》:「經之說有不得悉窮。古人不能無待於今,今人亦不能無待於後世。此萬世公理也。」葉聖陶 《倪煥之》十九:「世界有強權,沒有公理啊!」
  2. 在一個系統中已為實踐所反覆證明而被認為無須再證明的基本事實。如「等量加等量其和相等」,就是公理。

3 公理 -應用實例

  (a)傳統形式邏輯三段論關於一類事物的全部是什麼或不是什麼,那麼這類事物中的部分也是什麼或不是什麼,也即如果對一類事物的全部有所斷定,那麼對它的部分也就有所斷定,便是公理。又如日常生活中人們所使用的「有生必有死」,也屬於這種不證自明的判斷。
  (b)在歐幾里得幾何系統中下面所述的都是公理:
  ①等於同量的量彼此相等;
  ②等量加等量,其和相等;
  ③等量減等量,其差相等;
  ④彼此能重合的物體是全等的;
  ⑤整體大於部分(註:當集合內有無限個元素的時候,該公理的正確性有待討論例如三角形的底邊及底邊。上的中位線,中位線的長度為底邊的一半,但是在底邊上選擇任意一點與頂點連接,均會得到對應的中位線上的點,即——雖然中位線的長度為底邊的一半,但是其集合內的元素個數和底邊的一樣多。)
  以下是常用的等量公理:
  1.等量加等量,和相等。即:如果a=b,那麼a+c=b+c。
  2.等量減等量,差相等。即:如果a=b,那麼a-c=b-c。
  3.等量的同倍量相等。即:如果a=b,那麼ac=bc。
  4.等量的同分量相等。即:如果a=b,且c≠0,那麼a/c=b/c。
  5.等量代換。即:如果a=b,b=c,那麼a=c。

4 公理 -公理系統

  在數學上,一個公理系統(axiomatic system,或稱公理化系統,公理體系,公理化體系)是一個公理的集合,從這些公理可以邏輯地導出所有的定理。也可以說,公理系統是形式邏輯的一個完整體現。一個數學理論系統是由一個公理系統和所有它導出的定理組成的。比如:歐幾里德《幾何原本》中就規定了五條公理和五條公設,平面幾何中的一切定理都可由這五條公理和公設推得。
  由於公理系統可以建造一個完整的、無矛盾、滿足一致性的理論體系,所以幾乎所有的數學領域甚至一些數學以外的科學領域也採用了公理化體系來構造他們的理論系統。如現代得到多數人認可的大爆炸理論,就是基於這樣的一個認識。
  在數學中,所有的定理都必須給予嚴格的證明,但公理卻是不必證明的。因為公理是人們為了方便研究(某些方面也只有有了一個標準才能進行更深層的研究,這個標準就是公理)才人為設定的,若改變在邏輯上也能過得去,但有些早已成為運用習慣或在其上建立了一個理論體系不便再更變(如面積定義就是人為將一個範圍數量化,不然你想,給你一個面,沒有面積定義,你說它多大,「就這麼大,就這麼大」,你也只能這樣說);或有些是太一般性的東西,人類仍無法用現有理論推導致一般性高度(如1+1=2)。
  一個公理體系中的名詞是預先已經定義的概念,這樣的公理系統就是實質公理系統。如歐幾里德幾何公理系統。因為要先定義概念,所以就要有一些原始的概念作為定義其他概念的出發點,如歐氏幾何中使用的「部分」、「長度」、「寬度」、「界限」以及「同樣的位置」等。

5 公理 -公理集合論

  數理邏輯主要分支之一,是用公理化方法重建(樸素) 集合論的研究以及集合論的元數學和集合論的新的公理的研究。E.F.F.策梅洛於1908年首開先河,提出了第一個集合論公理系統,旨在克服集合論中出現的悖論,20世紀20年代A.A.弗倫克爾和A.T.斯科朗曾予以改進和補充,從而得到常用的策梅洛-弗倫克爾公理系統,簡記為 ZF。ZF 是一個形式系統,建立在有等詞和屬於關係「∈」的一階謂詞演算之上。它的非邏輯公理有:外延公理、空集公理、無序對公理、並集公理、冪集公理、無窮公理、分離(子集)公理模式、替換公理模式、正則(基礎)公理。如果另加選擇公理(AC)則所得到的公理系統簡記為ZFC(見集合論公理系統)。

6 公理 -公理化方法

  概括地說,幾何學的公理化方法是從少數原始概念和公理出發,遵遁邏輯原則建立幾何學演繹體系的方法。用公理化方法建立的數學學科體系一般是由以下四個部分組成:
  (1)原始概念的列舉;
  (2)定義的敘述;
  (3)公理的列舉;
  (4)定理敘述和證明.
  這四個組成部分不是獨立地一部分一部分的敘述和展開,而是相互交叉、相互滲透、相互依賴地按照邏輯原則演繹和展開。一般說來,用公理化方法建立的幾何學演繹體系總是由抽象內容和邏輯結構構成的統一體.決定幾何體系的基礎是原始概念和公理,不同的基礎決定不同的幾何體系,例如歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何、拓撲學等等.
  幾何體系的邏輯結構,主要取決於公理提出的先後次序,同一種幾何體系由於公理系統的編排次序不同,可以產生不同的邏輯結構.例如,中學幾何教材中的「外角定理」和三角形合同的「角角邊定理」是在平行公理之後提出的,因此可根據平行公理的推論「三角形內角和等於二直角」很容易給予證明.但在下面提到的希爾伯特所建立的歐氏幾何的體系中,由於這兩個定理是在平行公理之前提出的,就不允許使用「三角形內角和」定理.就是說同一歐氏幾何可有多種邏輯結構,一個幾何命題的證法不是通用的,它在這一邏輯結構中適用,而在另一個結構里可能不適用.
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