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所謂公理化方法,就是指從儘可能少的原始概念和不加證明的原始命題(即公理、公設)出發,按照邏輯規則推導出其他命題,建立起一個演繹系統的方法。

1簡介

恩格斯曾說過:數學上的所謂公理,是數學需要用作自己出發點的少數思想上的規定。
公理化方法能系統的總結數學知識、清楚地揭示數學的理論基礎,有利於比較各個數學分支的本質異同,促進新數學理論的建立和發展。
現代科學發展的基本特點之一,就是科學理論的數學化,而公理化是科學理論成熟和數學化的一個主要特徵。
公理化方法不僅在現代數學和數理邏輯中廣泛應用,而且已經遠遠超出數學的範圍,滲透到其它自然科學領域甚至某些社會科學部門,並在其中起著重要作用.

2歷史發展

發展
公理化方法的發展大致經歷了這樣三個階段:實質(或實體)公理化階段、形式公理化階段和純形式公理化階段,用它們建構起來的理論體系典範分別是《幾何原本》、《幾何基礎》和ZFC公理系統。
《幾何原本》雖然開創了數學公理化方法的先河,然而它的公理系統還有許多不夠完善的地方,其主要表現在以下幾個方面:(1)有些定義使用了一些還未確定涵義的概念;(2)有些定義是多餘的;(3)有些定理的證明過程往往依賴於圖形的直觀;(4)有的公理(即平行公理)是否可用其它公理來證明或代替.這些問題成為後來許多數學家研究的課題,並通過這些問題的研究,使公理化方法不斷完善,並促進了數學科學的發展.
第五公設(即平行公設)內容複雜,陳述累贅,缺乏象其它公設和公理那樣的說服力,並不自明.因此,它能否正確地反映空間形式的性質,引起了古代學者們的懷疑.從古希臘時代到公元18世紀,人們通過不同的途徑和方法對這一問題進行了大量的研究工作,其中薩克里( Saccheri,1667—1733)和蘭勃特( Lambert,1728-1777)等人考慮了兩個可能的與平行公設相反的假設,試圖證明出平行公設,但是他們的努力均歸於失敗.然而,在這些失敗中卻引出了一串與第五公設相等價的新命題和定理,即非歐幾何的公理和定理,它預示了一種新的幾何體系可能產生.
19世紀年輕的俄國數學家羅巴切夫斯基(Лобачевский1792-1856)產生了與前人完全不同的信念:首先,他認為第五公設不能以其餘的公理作為定理來證明;其次,除掉第五公設成立的歐氏幾何之外,還可能有第五公設不成立的新幾何系統存在.於是,他在剔除第五公設而保留歐氏幾何其餘公理的前提下,引進與第五公設相反的公理,從而構造了一個全新的幾何系統,它與歐氏幾何系統相併列.後來人們又證明了這兩個部分地相矛盾的幾何系統竟是相對相容的,即假定其中之一無矛盾,則另一個必定無矛盾,這樣以來,只要這兩個系統是無矛盾的,第五公設與歐氏系統的其餘公理就必定獨立無關.現在人們就用羅巴切夫斯基的名字命名了這一新的幾何學,並把一切不同於歐氏幾何公理系統的幾何系統統稱為非歐幾何.
非歐幾何的建立在數學史上具有劃時代的意義,標誌著人們對空間形式的認識發生了飛躍,從直觀空間上升到抽象空間.在建立非歐幾何的過程中,公理化方法得到了進一步的發展和完善.
分析、總結數學知識
當一門科學積累了相當豐富的經驗知識,需要按照邏輯順序加以綜合整理,使之條理化、系統化,上升到理性認識的時候,公理化方法便是一種有效的手段.如近代數學中的群論,便經歷了一個公理化的過程.當人們分別研究了許多具體的群結構以後,發現了它們具有基本的共同屬性,就用一個滿足一定條件的公理集合來定義群,形成一個群的公理系統,並在這個系統上展開群的理論,推導出一系列定理.
科學研究的對象
介乎於邏輯學和數學之間的邊緣學科—— 數理邏輯,用數學方法研究思維過程中的邏輯規律,也系統地研究數學中的邏輯方法.因此,數學中的公理方法是數理邏輯所研究的一個重要內容.由於數理邏輯是用數學方法研究推理過程的,它對公理化方法進行研究,一方面使公理化方法向著更加形式化和精確化的方向發展,一方面把人的某些思維形式,特別是邏輯推理形式加以公理化,符號化.這種研究使數學工作者增進了使用邏輯方法的自覺性.
公理系統
一個公理系統的相容性是至關重要的,因為一個理論體系不能矛盾百出.而獨立性和完備性的要求則是次要的.因為在一個理論體系中,如果有多餘的公理,對於理論的展開沒什麼妨礙;如果獨立的公理不夠用,數學史上常常補充一些公理,逐步使之完備.下面僅就公理系統的相容性證明作一介紹.
龐卡萊模型
龐卡萊為證明羅氏幾何的相容性,在歐氏系統中構造了一個羅氏幾何的模型.即在歐氏平面上劃一條直線a將其分成上、下兩個半平面,把不包括這條直線在內的上半平面作為羅氏平面,其上的歐氏點當作羅氏幾何的點,把以該直線上任一點為中心,任一長為半徑的半圓周作為羅氏幾何的直線,然後對如此規定的羅氏幾何元素一一驗證羅氏平行公理是成立的.
如圖4—3所示,過羅氏平面上任一羅氏直線l外的一點P,確實可以作出兩條羅氏直線與l平行.因為歐氏直線a上的點不是羅氏幾何系統的元素,所以兩個半圓相交於直線a上某一點則應看作相交於無窮遠點,從而在有窮範圍內永不相交.
這樣以來,如果羅氏系統在今後的展開中出現了正、反兩個互相矛盾的命題的話,則只要按上述規定之幾何元素間的對應關係進行翻譯,立即成為互相矛盾的兩個歐氏幾何定理.從而歐氏系統就矛盾了.因此,只要承認歐氏系統是無矛盾的,那麼羅氏系統一定也是相容的.這就把羅氏系統的相容性證明通過上述龐卡萊模型化歸為歐氏系統的相容性證明.這種把一個公理系統的相容性證明化歸為另一個看上去比較可靠的公理系統的相容性證明,或者說依靠一個數學系統的無矛盾性來保證另一個數學系統的協調性叫做數學系統的相對相容性證明.

對數學發展的影響

由於相對相容性的出現,使人們對歐氏系統的相容性也憂心重重.而更糟的是,在羅氏系統的展開中人們又發現,羅氏幾何空間的極限球面上也可構造歐氏模型,即歐氏幾何的全部公理能在羅氏的極限球上實現,於是歐氏幾何的相容性又可由羅氏幾何的相容性來保證!這說明歐氏與羅氏的公理系統雖然不同,但卻是互為相容的.人們當然不滿足於兩者互相之間的相對相容性證明,因為看上去較為合理的歐氏系統的無矛盾性竟要由看上去很不合理的羅氏系統來保證,這是難以令人滿意的.於是人們開始尋求直接的相容性證明,本世紀初數學基礎論就誕生了.由於在這一工作中所持的基本觀點不同,在數學基礎論的研究中形成了諸如邏輯主義派、直覺主義派和形式公理學派三大流派.這些流派雖然並未最後解決相容性證明問題,但在方法論上卻各有貢獻,他們的方法論、思想方法對於數學的研究與發展都具有重要的意義,有些還值得進一步分析、探討、繼承和發展.

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