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六十進位法,是人類最早使用「位值系統「的記數方法,最晚在公元前2100年就已出現。

  六十進位法可能是人類最早使用「位值系統」( positional system) 的記數方法,最晚在公元前2100年就已出現。在了解六十進位法之前,我們先來看看何謂「位值系統」,以及有無位值系統對運算造成的差異。


  我們所習慣的印度˙阿拉伯數碼,就是位值系統最好的例子,這是一個以10為底的計數與演算系統,當我們寫5625時,我們的意思是 。一般而言,若我們選定一正整數b為底,則我們很容易可以證明任意正整數N可以被唯一地表示成下面的形式:


  ,


  其中 , 。接著,我們就可將N表為:


  。


  所以,一個基本符號在不同的位置就會代表不同的值。例如,在234中的2代表200,25中的2代表20,而102中的2就代表2。在一個完整的位值系統中,必須要有代表「零」的符號,才能將可能缺項的位數補零。我們現在的直式加減乘除,就是建立在這樣的位值系統上。至於不使用位值的系統,大概只有羅馬數字還算為世人所熟悉。這也是一個以10為基底的系統,但它用I、X、C 、M表示1、10、100和1000,再加上V、L、D代表5、50及500作輔助。舉例來說,


  1762=MDCCLXII。


  若要用它作加減乘除的運算,對現代人而言是十分困難的。但是,如果我們熟記一些規則,比如5個I的和為V,兩個V的和是X等等,再加上羅馬時代也有類似中國的算盤,其實應付10000以下的運算還不會太困難。事實上,古代希臘人、希伯來人及早期的阿拉伯人使用比羅馬數字更複雜的字母系統來代表數字,而且跟羅馬人一樣不使用零,但在當時已經足夠。


  接著,我們回到六十進位法。巴比倫使用的這個系統是個不完整的位值系統,因為它缺乏代表「零」的符號。但它與我們現在的系統是很接近的,它使用59個不同的符號代表1至59,當泥板上由左至右出現5、6、3時(我們用 (5, 6, 3) 代表這件事),它的意思是 =18363,這使得一個很龐大的數字變得容易紀錄。這裡就引發了一個問題,為什麼在四千多年前,巴比倫人就發展出這種與現代位值系統相似的六十進位法呢?筆者的猜想是因為數字管理的需要加上書寫工具的缺乏。中國人在公元二世紀才發明造紙術,在紙張傳遍歐亞大陸之前,任何足以長期保存的書寫工具都是很昂貴的。前面一節提到,古巴比倫時代已有良好的農業發展及頻繁的商業往來,再加上早熟的天象觀察,使得記載龐大數字並長久保存有其必要。大家可以想像一下,當時捏制一塊泥板,把一些文字與數字小心地用一跟尖尖的棍子刻上去,再將之烘培定型保存起來,是十分費時的工作,可見書寫文字在當時是很「昂貴」的事。古代蘇美社會(約公元前3200至2340年)中,只有掌控社會經濟的廟宇才能使用文字紀錄,此外,目前出土的泥板中,最大超過六公斤,面積大到要助手雙手扶著供書記官書寫才行。所以,用很小的空間紀錄很大的數字就變得很重要,在一些較為古老泥板中,1的60倍被寫成一個比較大的「1」,但後來被簡化成原來的大小,再將數字放在不同位置代表60的不同倍數,帶有位值便利性的六十進位法於焉誕生。


  至於為什麼用60而非10為底,有學者相信應該是為了統一當時的度量衡。當時可能有兩種常用的單位(如同我們將公制和英制混合使用),這兩個單位最常用的比例都是 等,如果我們規定,大的單位剛好是小的的60倍,則大單位的10, 和 倍就都是小單位的整數倍,使得換算便利許多。另外,60比10多了許多因數也可能是選擇60的原因。


  巴比倫六十進位法也不是完全沒有缺點,如前所述,它一直沒有「零」的符號,也沒有小數點。因此,(5, 6, 3)也可以代表


  ,


  或者


  ,


  或是其他的數字?雖然有時他們會將某一位空下來以代表缺項,但也因沒有統一使用,讓我們後人無法直接從數字元號上去確定它的值,此時我們只能從泥板的上下文去判斷了。這樣容易混淆的狀況,一直到約公元前300年波斯人「發明」了「零」的符號,才大有改善,但小數點仍一直沒有被使用。

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