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1 共形場論 -簡介

  形場論、保角場論 (conformal field theory, CFT) 是量子場論一支,研究共形對稱之量子場組成之結構 (數學上或相通於處臨界點之統計力學模型) 。一此結構亦俗稱「一共形場論」。此論中最為人知者是二維共形場論,因其有一巨大、對應於各全純函數之無限維局部共形變換群。


  共形場論有用於 弦論、統計力學、凝態物理。

2 共形場論 -標度不變與共形不變

  標度變換 是共形變換之子集。 標度變換下不變、但共形變換下變之量子場論例子罕見。 而且在某些條件下,標度不變涵蘊共形不變。 故量子場論研究員常混用標度不變與共形不變二詞。

3 共形場論 -二維共形場論

  二維共形場論有一無限維之局部共形變換群。例如,考慮黎曼球面上之共形場論:雖其變換群由各Moebius 變換組成、同構於PSL(2,C),但其無窮小共形變換則構成無限維之 Witt 代數。 注意:大多共形場論量子化後會出現 共形反常 (又稱 Weyl 反常)。此現象 引進一非零之中心荷,因而 Witt 代數須擴展成 Virasoro 代數。


  此對稱結構讓我們更細緻分類二維的共形場論。 尤其者,我們可聯繋一共形場論之原初運算元與其中心荷 c。各物理態[2]組成之希爾伯特空間是Virasoro 代數以c為定值之一么正模. 若要使整個系統穏定,則其Hamiltonian 之能譜應限在零及其上。最廣為人用者是Virasoro代數之最高權表示。


  一手征場 是一全純場W(z),其在Virasoro 代數作用下之變換為


  反手征場之定義亦類同。吾人稱 Δ 為手征場W之「共形權」[6]。


  Zamolodchikov 證明了:存在一函數 C,在重整群流作用下單調下降 ,且等於一二維共形場論之中心荷。 此定理人稱 「Zamolodchikov C-定理」。是故,二維重整群流不可逆也。

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