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1定義

共軛複數
兩個實部相等,虛部互為相反數的複數互為共軛複數(conjugate complex number)。(當虛部不等於0時也叫共軛虛數)複數z的共軛複數記作zˊ。
同時, 複數zˊ稱為複數z的復共軛(complex conjugate).​
根據定義,若z=a+bi(a,b∈R),則 zˊ=a-bi(a,b∈R)。共軛複數所對應的點關於實軸對稱(詳見附圖)。兩個複數:x+yi與x-yi稱為共軛複數,它們的實部相等,虛部互為相反數.在複平面上.表示兩個共軛複數的點關於X軸對稱.而這一點正是"共軛"一詞的來源.兩頭牛平行地拉一部犁,它們的肩膀上要共架一個橫樑,這橫樑就叫做"軛".如果用Z表示X+Yi,那麼在Z字上面加個"一"就表示X-Yi,或相反.
共軛複數有些有趣的性質:
︱x+yi︱=︱x-yi︱
(x+yi)*(x-yi)=x^2+y^2=︱x+yi︱^2=︱x-yi︱^2
另外還有一些四則運算性質.

2代數特徵

(1)|z|=|z′|;
(2)z+z′=2a(實數),z-z′=2bi;
(3)z· z′=|z|^2=a^2+b^2(實數);
乘法法則 複數的乘法法則:把兩個複數相乘,類似兩個多項式相乘,結果中i^2 = -1,把實部與虛部分別合併。兩個複數的積仍然是一個複數。即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 開方法則 若z^n=r(cosθ+isinθ),則z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n](k=0,1,2,3……n-1)

3運算特徵

(1)(z1+z2)′=z1′+z2′
(2) (z1-z2)′=z1′-z2′
(3) (z1·z2)′=z1′·z2′
(4) (z1/z2)′=z1′/z2′ (z2≠0)

4模的運算性質

① | z1·z2| = |z1|·|z2|
共軛複數
③┃| z1|-| z2|┃≤| z1+z2|≤| z1|+| z2|
| z1-z2| = | z1-z2|,是複平面的兩點間距離公式,由此幾何意義可以推出複平面上的直線、圓、雙曲線、橢圓的方程以及拋物線
PS:z′表示複數z的共軛複數(實際形式為z上一橫),z″表示複數z的共軛複數的共軛複數(為z上兩橫),即z〃=z。

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