標籤:公理

所謂冪集, 就是原集合中所有的子集(包括全集和空集)構成的集族。可數集是最小的無限集; 它的冪集和實數集一一對應(也稱同勢),是不可數集。 不是所有不可數集都和實數集等勢,集合的勢可以無限的大。如實數集的冪集也是不可數集,但它的勢比實數集大。 設X是一個有限集,|X| = k,則X的冪集為2的k次方。

1解釋

康托第一個認真研究了無限集合, 分清了可數集和不可數集的區別, 並用對角線法證明了實數集不是可數集。此外,康托指出了冪集的勢總是嚴格大於原集合。由此結論導致了康托猜想(即連續統假設)和康托悖論。
設有集合A,由A的所有子集組成的集合,稱為A的冪集,記作2^A,即
2^A={S|S⊆A}

2冪集基數

設集合A是有基數Card(A)的有限集(可數集),則Card(2^A)=2^(Card(A))。如集合B={a,b},得2^B={ø,{a},{b},{a,b}}。那麼Card(2^B)=2^(Card(B))=2^(2)=4,顯然上述公式是正確的。考慮特殊情況空集合ø的冪集:空集合ø僅有子集ø,得到2^ø={ø}。

3康托猜想

不存在一個集合, 它的勢嚴格大於可數集的勢, 同時嚴格小於實數集的勢。
邏輯學家歌德爾證明了這個連續統假設是不能被證明的,也不能被證偽--就是說不能從現有的數學公理體系推演出該結論或者否定該結論。
康托悖論:考慮所有的集合組成的最大的集族,這個集族的冪集當然也是集合,所以本身也是該集合的一部分,從而它的勢應該不超過原集合的勢;但是另一方面,冪集的勢又嚴格大於原集合的勢,從而導致矛盾。
羅素首先意識到集合的概念存在問題。他提出所謂的類型論,指出有一類「集合」並不是真正的集合,而是所謂的「類」,集合本身是不能包含自身的;「類」卻可以。從這個角度出發,就可以解釋上述的悖論。

4康托爾

現在來證明實數區間[0, 1]中所有的實數組成的集合是不可列集。
其實只要證明(0,1]區間的實數集是不可數的。如果它是可數的,說明其中所有的實數均可排列成一數列t1,t2,...,tn,...,只有這樣,它才能對等於自然數集。好,這時我們將(0,1]中的實數用十進位的無限小數表示:
t1 = 0. t11 t12 t13 ... t1n ...
t2 = 0. t21 t22 t23 ... t2n ...
...
tm = 0. tm1 tm2 tm3 ... tmn ...
...
其中所有的tij都是0~9這十個數字中的某一個。
但是現在我們可以構造一個小數a=0. a1 a2 a3 ... ak ...,任意的ai也都是0~9這十個數字中的某一個,但我們讓每個ai都不等於上述實數列中的tii,也就是讓第i位的數字跟數列中第i行第i個數字不同。這是可行的,因為我們用的是十進位小數,還剩下9個不同數字可供選擇呢。
當我們構造好了這樣的一個小數之後,我們發現它實際上跟上述小數列中的任何一個都不相等。這就造成了邏輯上的矛盾,你說已經把所有小數都列出來了,但是我卻發現至少我構造的這個小數,你還沒有羅列出來。就算你亡羊補牢,把我這個也補充進去,但是我還是可以根據同樣規則又構造出另一個。所以,只能說明實數是無法跟可數集形成一一對應的,也就是前面的假設是錯誤的。
因此[0, 1]區間的實數不是可數集。同樣,取掉0,1兩個數之後的(0,1)區間的實數也不是可數集。
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