英文名: convex function(中國數學界關於函數凹凸性定義和國外很多定義是反的。Concave Function在國內的數學書中指凹函數。Convex Function指凸函數。)
凹函數是一個定義在某個向量空間的凹子集C(區間)上的實值函數f。
設f為定義在區間I上的函數,若對I上的任意兩點X1,X2和任意的實數λ∈(0,1),總有
f(λx1+(1-λ)x2)≤(≥)λf(x1)+(1-λ)f(x2), 則f稱為I上的下(上)凸函數,且凹函數是指上凸函數。
判定方法可利用定義法、已知結論法以及函數的二階導數。
一般的判別方法是求它的二階導數,如果其二階導數在區間上恆小於等於0,就稱為凸函數。
如果其二階導數在區間上恆小於0,就稱為嚴格凸函數。
與百度百科凸函數(下凸)對比,這裡的凹函數(上凸)應:如果其二階導數在區間上恆大於等於0,就稱為凹函數。如果其二階導數在區間上恆大於0,就稱為嚴格凹函數。
註:可應用經濟學里的邊際來理解,邊際遞減是上凸,即隨著X的遞增,Y值變化量越來越慢,
邊際遞增是下凸,即隨著X的遞增,Y值變化量越來越快。
凹函數性質的證明。設函數f(x)在定義域內連續可導且滿足f''(x)>0。
設x1<x2,0<a<1
證明:f[ax1+(1-a)x2]<af(x1)+(1-a)f(x2)
因ax1+(1-a)x2-x1=(1-a)(x2-x1)>0
則x1<ax1+(1-a)x2
根據拉格朗日中值定理。
必存在x1<μ< ax1+(1-a)x2
使f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)= (1-a)(x2-x1)f'(μ)
同理。
存在ax1+(1-a)x2<ξ<x2
使f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]= a(x2-x1)f'(ξ)
故a{f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)}- (1-a){f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]}=a (1-a)(x2-x1)[f』(μ)- f』(ξ)]
根據拉格朗日中值定理。
有μ<δ<ξ
f'(μ)- f'(ξ)=(μ-ξ)f''(δ)
因f''(x)>0
則f'(μ)- f'(ξ)<0
則a{f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)}- (1-a){f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]}<0
整理后得f[ax1+(1-a)x2]<af(x1)+(1-a)f(x2)
若f''(x)<0結果相反 。
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