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函數是一種關係,這種關係使一個集合里的每一個元素對應到另一個(可能相同的)集合里的唯一元素。

1 函數 -簡介

函數定義:設A、B是兩個集合,如果按照某種對應法則f,對於集合A中任何一個元素,在集合B中都有惟一的元素和它對應,這樣的對應叫做從集合A到集合B的映射,記作f : A-->B. 當集合A,B都是非空的數的集合,且B的每一個元素都有原象時,這樣的映射f:A-->B.就叫定義域A到值域B上的函數.

在初中課本中的定義是:一般的,有兩個變數XY,其中一個變數Y隨著另一個變數X的變化而變化,並且,給出一個X值都有唯一的一個Y值與它對應。X叫自變數,Y叫因變數。

函數函數

在數學領域,函數是一種關係,這種關係使一個集合里的每一個元素對應到另一個(可能相同的)集合里的唯一元素。
因變數,函數一個與他量有關聯的變數,這一量中的任何一值都能在他量中找到對應的固定值。
函數兩組元素一一對應的規則,第一組中的每個元素在第二組中只有唯一的對應量。

函數的概念對於數學和數量學的每一個分支來說都是最基礎的。

術語函數,映射,對應,變換通常都有同一個意思。
但函數只表示數與數之間的對應關係,映射還可表示點與點之間,圖形之間等的對應關係。可以說函數是一種特殊的映射。

2 函數 -歷史

笛卡兒引入變數后,隨之而來的便是函數的概念.他指出y和是變數(「未知量和未定的量」)的時候,也注意到y依賴於而變.這正是函數思想的萌芽.但是他沒有使用「函數」這個詞。函數這個數學名詞是萊布尼茲在1694年開始使用的,以描述曲線的一個相關量,如曲線的斜率或者曲線上的某一點。萊布尼茲所指的函數現在被稱作可導函數,數學家之外的普通人一般接觸到的函數即屬此類。對於可導函數可以討論它的極限和導數。此兩者描述了函數輸出值的變化同輸入值變化的關係,是微積分學的基礎。

函數概念是全部數學概念中最重要的概念之一,縱觀300年來函數概念的發展,眾多數學家從集合、代數、直至對應、集合的角度不斷賦予函數概念以新的思想,從而推動了整個數學的發展。本文擬通過對函數概念的發展與比較的研究,對函數概念的教學進行一些探索。 

幾何觀念下的函數

十七世紀伽俐略(G.Galileo,意,1564-1642)在《兩門新科學》一書中,幾乎從頭到尾包含著函數或稱為變數的關係這一概念,用文字和比例的語言表達函數的關係。1637年前後笛卡爾(Descartes,法,1596-1650)在他的解析幾何中,已經注意到了一個變數對於另一個變數的依賴關係,但由於當時尚未意識到需要提煉一般的函數概念,因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候,數學家還沒有明確函數的一般意義,絕大部分函數是被當作曲線來研究的。 

  1673年,萊布尼茲首次使用「function」(函數)表示「冪」,後來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量。與此同時,牛頓在微積分的討論中,使用 「流量」來表示變數間的關係。

代數觀念下的函數

1718年約翰·貝努利(BernoulliJohann,瑞,1667-1748)才在萊布尼茲函數概念的基礎上,對函數概念進行了明確定義:由任一變數和常數的任一形式所構成的量。貝努利把變數x和常量按任何方式構成的量叫「x的函數」,表示為,其在函數概念中所說的任一形式,包括代數式子和超越式子。 

18世紀中葉歐拉(L.Euler,瑞,1707-1783)就給出了非常形象的,一直沿用至今的函數符號。歐拉給出的定義是:一個變數的函數是由這個變數和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。他把約翰·貝努利給出的函數定義稱為解析函數,並進一步把它區分為代數函數(只有自變數間的代數運算)和超越函數(三角函數、對數函數以及變數的無理數冪所表示的函數),還考慮了「隨意函數」(表示任意畫出曲線的函數),不難看出,歐拉給出的函數定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。 

對應關係下的函數

1822年傅里葉(Fourier,法,1768-1830)發現某些函數可用曲線表示,也可用一個式子表示,或用多個式子表示,從而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的爭論,把對函數的認識又推進了一個新的層次。1823年柯西(Cauchy,法,1789-1857)從定義變數開始給出了函數的定義,同時指出,雖然無窮級數是規定函數的一種有效方法,但是對函數來說不一定要有解析表達式,不過他仍然認為函數關係可以用多個解析式來表示,這是一個很大的局限,突破這一局限的是傑出數學家狄利克雷。 

1837年狄利克雷(Dirichlet,德,1805-1859)認為怎樣去建立x與y之間的關係無關緊要,他拓廣了函數概念,指出:「對於在某區間上的每一個確定的x值,y都有一個或多個確定的值,那麼y叫做x的函數。」狄利克雷的函數定義,出色地避免了以往函數定義中所有的關於依賴關係的描述,簡明精確,以完全清晰的方式為所有數學家無條件地接受。至此,我們已可以說,函數概念、函數的本質定義已經形成,這就是人們常說的經典函數定義。 

等到康托爾(Cantor,德,1845-1918)創立的集合論在數學中佔有重要地位之後,維布倫(Veblen,美,1880-1960)用「集合」和「對應」的概念給出了近代函數定義,通過集合概念,把函數的對應關係、定義域及值域進一步具體化了,且打破了「變數是數」的極限,變數可以是數,也可以是其它對象(點、線、面、體、向量、矩陣等)。 

集合論下的函數

1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合論綱要》中用「序偶」來定義函數。其優點是避開了意義不明確的「變數」、「對應」概念,其不足之處是又引入了不明確的概念「序偶」。庫拉托夫斯基(Kuratowski)於1921年用集合概念來定義「序偶」,即序偶(a,b)為集合{{a},{b}},這樣,就使豪斯道夫的定義很嚴謹了。1930年新的現代函數定義為,若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應,則稱在集合M上定義一個函數,記為y=f(x)。元素x稱為自變元,元素y稱為因變元。 

函數概念的定義經過三百多年的錘鍊、變革,形成了函數的現代定義形式,但這並不意味著函數概念發展的歷史終結,20世紀40年代,物理學研究的需要發現了一種叫做Dirac-δ函數,它只在一點處不為零,而它在全直線上的積分卻等於1,這在原來的函數和積分的定義下是不可思議的,但由於廣義函數概念的引入,把函數、測度及以上所述的Dirac-δ函數等概念統一了起來。因此,隨著以數學為基礎的其他學科的發展,函數的概念還會繼續擴展。 

3 函數 -正式定義

從輸入值集合X到可能的輸出值集合Y的函數f(記作 )是X與Y的關係,滿足如下條件:

f是完全的:對集合X中任一元素X都有集合Y中的元素y滿足xfy(x與y是f相關的)。即,對每一個輸入值,y中都有且只有一個與之對應的輸出值。
f是多對一的:若xfy且xfz,則y = z。即,多個輸入可以映射到一個輸出,但一個輸入不能映射到多個輸出。
定義域中任一x在對映域中唯一對應的y記為f(x)。

比上面定義更簡明的表述如下:從X映射到Y的函數f是X與Y的直積X / timesY的子集。X中任一x都與Y中的y唯一對應,且有序對(x,y)屬於f。

X與Y的關係若滿足條件(1),則為多值函數。函數都是多值函數,但多值函數不都是函數。X與Y的關係若滿足條件(2),則為偏函數。函數都是偏函數,但偏函數不都是函數。除非特別指明,本百科全書中的「函數」總是指同時滿足以上兩個條件的關係。 考慮如下例子:

完全,但非多對一。X中的元素3與Y中的兩個元素b 和c 相關。因此這是多值函數,而不是函數。
多對一,但非完全。 X 的元素1未與Y 的任一元素相關。因此這是偏函數,而不是函數。
完全且多對一。因此這是從X到Y的函數。此函數可以表示為f ={(1, d), (2, d), (3, c)},或 F={d,if x=1;d, if x=2;d, if x=3

4 函數 -定義域、對映域和值域

輸入值的集合X被稱為f 的定義域;可能的輸出值的集合Y被稱為f 的陪域。函數的值域是指定義域中全部元素通過映射f 得到的實際輸出值的集合。注意,把對映域稱作值域是不正確的,函數的值域是函數的對映域的子集。

計算機科學中,參數和返回值的數據類型分別確定了子程序的定義域和對映域。因此定義域和對映域是函數一開始就確定的強制約束。另一方面,值域和實際的實現有關。

5 函數 -單射、滿射與雙射函數

單射函數,將不同的變數映射到不同的值。即:若x和y屬於定義域,則僅當x = y時有f(x) = f(y)。
滿射函數,其值域即為其對映域。即:對映射f的對映域中之任意y,都存在至少一個x滿足f(x) = y。
雙射函數,既是單射的又是滿射的。也叫一一對應。雙射函數經常被用於表明集合X和Y是等勢的,即有一樣的基數。如果在兩個集合之間可以建立一個一一對應,則說這兩個集合等勢。

6 函數 -像和原象

元素 x∈X在 f 的像 就是 f(x)。

子集 A⊂X 在 f 的像是以其元素的像組成 Y的子集,即

f(A) := {f(x) : x ∈ A}。
注意 f 的值域就是定義域 X 的像 f(X)。在我們的例子里, {2,3} 在 f 的像是 f({2, 3}) = {c, d} 而 f 的值域是 {c, d}。

根據此定義,f 可引申成為由 X 的冪集(由 X 的子集組成的集)到 Y 的冪集之函數,亦記作 f。

子集 B ⊂ Y 在 f 的原像(或逆像)是如下定義 X的子集:

f −1(B) := {x ∈ X : f(x)∈B}。
在我們的例子里,{a, b} 的原像是 f −1({a, b}) = {1}。

根據此定義,f −1 是由 Y 的冪集到 X 的冪集之函數。

以下是 f 及 f −1 的一些特性:

f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2).
f(A1 ∩ A2) ⊆ f(A1) ∩ f(A2).
f −1(B1 ∪ B2) = f −1(B1) ∪ f −1(B2).
f −1(B1 ∩ B2) = f −1(B1) ∩ f −1(B2).
f(f −1(B)) ⊆ B.
f −1(f(A)) ⊇ A.
這些特性適合定義域的任意子集 A, A1 及 A2 和輸出值域的任意子集 B, B1 及 B2,甚至可推廣到任意子集群的交集和並集。

7 函數 -函數圖像

立方函數的圖像函數f 的圖像是平面上點對(x,f(x))的集合,其中x取定義域上所有成員的。函數圖像可以幫助理解證明一些定理。

如果X 和Y 都是連續的線,則函數的圖像有很直觀表示,如右圖是立方函數的圖像:

注意兩個集合X 和Y 的二元關係有兩個定義:一是三元組(X,Y,G),其中G 是關係的圖;二是索性以關係的圖定義。用第二個定義則函數 f 等於其圖象。

8 函數 -函數範例

首都之於國家(若不把多首都國[1]計算在內)。
每個自然數 n 的平方 n² 是n 的函數。
對數函數。 ln x 是正實數 x 的函數。注意,在 x 為負實數時沒有定義 ln x。
對每個在 平面上的點,其和原點 (0, 0) 的距離是確定的。
常用的數學函數包括多項式函數、根式函數、冪函數、對數函數、有理函數、三角函數、反三角函數等。它們都是初等函數。非初等函數(或特殊函數)包括 伽傌函數和Bessel函數等。

9 函數 -函數的特性

函數可分為

奇函數或偶函數
連續函數或不連續函數
實函數或虛函數
標量函數或向量函數 

10 函數 -歧義函數

歧義函數指可於一條數學等式中找到不少於一個正確答案。例如,4的平方根可以是2或者-2而兩者的平方皆是4。

嚴格來說,歧義函數不完全算是函數,因為數學函數的定義對於一個輸入值只能有唯一一個輸出值。實際上,這樣的「函數」通常被稱為關係式。

大陸的名稱叫多值函數

11 函數 -n-元函數: 多元函數

n-元函數是指輸入值為 n-元組的函數。或者說,若一函數的輸入值域為 n 個集合的積集的子集,這函數就是 n-元函數。例如, 距離函數 dist((x,y)) 是一個二元函數,輸入值是由兩個點組成的序對。另外,多複變函數(即輸入值為複數的多元組)是一個重要的數學課題。

在抽象代數中, 運算元其實都是函數,如乘法 "*" 是個二元函數:我們寫 x*y 其實是 *(x,y)的中綴表達法。

函數式程序設計是一個以函數概念為中心的重要理論範例,其中的運算對象為多元函數,基本語法基於λ演算,而函數的複合(見下)則採用代換來完成。特別地,通過一種稱為Currying的變換,可將多元函數變換為一元函數。


12 函數 -三角函數

三角函數是數學中屬於初等函數中的超越函數的一類函數。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變數之間的映射。通常的三角函數是在平面直角坐標系中定義的,其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中,但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解,將其定義擴展到複數系。

由於三角函數的周期性,它並不具有單值函數意義上的反函數。

三角函數在複數中有較為重要的應用。在物理學中,三角函數也是常用的工具。

 它有六種基本函數:

函數名 正弦餘弦正切餘切正割餘割

符號 sin cos tan cot sec csc

正弦函數 sin(A)=a/h

餘弦函數 cos(A)=b/h

正切函數 tan(A)=a/b

餘切函數 cot(A)=b/a

在某一變化過程中,兩個變數x、y,對於某一範圍內的x的每一個值,y都有確定的值和它對應,y就是x的函數。這種關係一般用y=f(x)來表示。

13 函數 -二次函數

I.定義與定義表達式
一般地,自變數x和因變數y之間存在如下關係:
y=ax²+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數的三種表達式
一般式:y=ax²+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
頂點式:y=a(x-h)²+k [拋物線的頂點P(h,k)]
交點式:y=a(x-x1)(x-x2) [僅限於與x軸有交點A(x1,0)和     B(x2,0)的拋物線]
註:在3種形式的互相轉化中,有如下關係:
h=-b/2a   k=(4ac-b²)/4a   x1,x2=(-b±√b²-4ac)/2a
III.二次函數的圖象
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x²的圖象,
可以看出,二次函數的圖象是一條拋物線。
IV.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P,坐標為
P [ -b/2a ,(4ac-b²)/4a ]。
當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ= b²-4ac=0時,P在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。
|a|越大,則拋物線的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於(0,c)
6.拋物線與x軸交點個數
Δ= b²-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b²-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。
Δ= b²-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。
V.二次函數與一元二次方程
特別地,二次函數(以下稱函數)y=ax²+bx+c,
當y=0時,二次函數為關於x的一元二次方程(以下稱方程),
即ax²+bx+c=0
此時,函數圖象與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

14 函數 -一次函數

I、定義與定義式:
自變數x和因變數y有如下關係:
                      y=kx+b(k,b為常數,k≠0)
則稱y是x的一次函數。
特別地,當b=0時,y是x的正比例函數。

II、一次函數的性質:
y的變化值與對應的x的變化值成正比例,比值為k
即                     △y/△x=k

III、一次函數的圖象及性質:
1.        作法與圖形:通過如下3個步驟(1)列表;(2)描點;(3)連線,可以作出一次函數的圖象——一條直線。因此,作一次函數的圖象只需知道2點,並連成直線即可。
2.        性質:在一次函數上的任意一點P(x,y),都滿足等式:y=kx+b。
3.        k,b與函數圖象所在象限。
當k>0時,直線必通過一、三象限,y隨x的增大而增大;
當k<0時,直線必通過二、四象限,y隨x的增大而減小。
當b>0時,直線必通過一、二象限;當b<0時,直線必通過三、四象限。
特別地,當b=O時,直線通過原點O(0,0)表示的是正比例函數的圖象。
這時,當k>0時,直線只通過一、三象限;當k<0時,直線只通過二、四象限。

IV、確定一次函數的表達式:
已知點A(x1,y1);B(x2,y2),請確定過點A、B的一次函數的表達式。
(1)設一次函數的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。
(2)因為在一次函數上的任意一點P(x,y),都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程:
y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。
(3)解這個二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最後得到一次函數的表達式。

V、一次函數在生活中的應用
1.當時間t一定,距離s是速度v的一次函數。s=vt。
2.當水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。

15 函數 -反比例函數

形如 y=k/x(k為常數且k≠0) 的函數,叫做反比例函數。

自變數x的取值範圍是不等於0的一切實數。

反比例函數的圖像為雙曲線。

如圖,上面給出了k分別為正和負(2和-2)時的函數圖像。
三角函數
三角函數是數學中屬於初等函數中的超越函數的一類函數。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變數之間的映射。通常的三角函數是在平面直角坐標系中定義的,其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中,但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解,將其定義擴展到複數系。

由於三角函數的周期性,它並不具有單值函數意義上的反函數。

三角函數在複數中有較為重要的應用。在物理學中,三角函數也是常用的工具。

在數學領域,函數是一種關係,這種關係使一個集合里的每一個元素對應到另一個(可能相同的)集合里的唯一元素。函數的概念對於數學和數量學的每一個分支來說都是最基礎的。

術語函數,映射,對應,變換通常都是同一個意思。

簡而言之,函數是將唯一的輸出值賦予每一輸入的「法則」。這一「法則」可以用函數表達式、數學關係,或者一個將輸入值與輸出值對應列出的簡單表格來表示。函數最重要的性質是其決定性,即同一輸入總是對應同一輸出(注意,反之未必成立)。從這種視角,可以將函數看作「機器」或者「黑盒」,它將有效的輸入值變換為唯一的輸出值。通常將輸入值稱作函數的參數,將輸出值稱作函數的值。

最常見的函數的參數和函數值都是數,其對應關係用函數式表示,函數值可以通過直接將參數值代入函數式得到。如下例,
f(x) = x2 ,x 的平方即是函數值。
也可以將函數很簡單的推廣到與多個參量相關的情況。例如:
g(x,y) = xy 有兩個參量x和y,以乘積xy為值。與前面不同,這一「法則」與兩個輸入相關。其實,可以將這兩個輸入看作一個有序對(x, y),記g為以這個有序對(x, y)作參數的函數,這個函數的值是xy。
科學研究中經常出現未知或不能給出表達式的函數。例如地球上不同時刻溫度的分佈,這一函數以地點和時間為參量,以某一地點、某一時刻的溫度作為輸出。
函數的概念並不局限於數的計算,甚至也不局限於計算。函數的數學概念更為寬泛,而且不僅僅包括數之間的映射關係。函數將「定義域」(輸入集)與「對映域」(可能輸出集)聯繫起來,使得定義域的每一個元素都唯一對應對映域中的一個元素。函數,如下文所述,被抽象定義為確定的數學關係。由於函數定義的一般性,函數概念對於幾乎所有的數學分支都是很基本的。

16 函數 -複合函數

有3個變數,y是u的函數,y=ψ(u),u是x的函數,u=f(x),往往能形成鏈:y通過中間變數u構成了x的函數:

x→u→y,這要看定義域:設ψ的定義域為U 。 f的值域為U,當U*ÍU時,稱f與ψ 構成一個複合函數 , 例如 y=lgsinx,x∈(0,π)。此時sinx>0 ,lgsinx有意義 。但如若規定x∈(-π,0),此時sinx<0 ,lgsinx無意義 ,就成不了複合函數。

17 函數 -反函數

就關係而言,一般是雙向的 ,函數也如此 ,設y=f(x)為已知的函數,若對每個y∈Y,有唯一的x∈X,使f(x)=y,這是一個由y找x的過程 ,即x成了y的函數 ,記為x=f -1(y)。稱f -1為f的反函數。習慣上用x表示自變數 ,故這個函數仍記為y=f -1(x) ,例如 y=sinx與y=arcsinx 互為反函數。在同一坐標系中,y=f(x)與y=f -1(x)的圖形關於直線y=x對稱。

18 函數 -隱函數

若能由函數方程 F(x,y)=0 確定y為x的函數y=f(x),即F(x,f(x))≡0,就稱y是x的隱函數。   

19 函數 -多元函數

設點(x1,x2,…,xn) ∈GÍRn,UÍR1 ,若對每一點(x1,x2,…,xn)∈G,由某規則f有唯一的 u∈U與之對應:f:G→U,u=f(x1,x2,…,xn),則稱f為一個n元函數,G為定義域,U為值域。

基本初等函數:冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數稱為基本初等函數。

①冪函數:y=xμ(μ≠0,μ為任意實數)定義域:μ為正整數時為(-∞,+∞),μ為負整數時是(-∞,0)∪(0,+∞);μ=(α為整數),當α是奇數時為( -∞,+∞),當α是偶數時為(0,+∞);μ=p/q,p,q互素,作為的複合函數進行討論。

②指數函數:y=ax(a>0 ,a≠1),定義成為( -∞,+∞),值域為(0 ,+∞),a>0 時是嚴格單調增加的函數( 即當x2>x1時,) ,0<a<1 時是嚴格單減函數。對任何a,圖像均過點(0,1),注意y=ax和y=()x的圖形關於y軸對稱。

③對數函數:y=logax(a>0), 稱a為底 , 定義域為(0,+∞),值域為(-∞,+∞) 。a>1 時是嚴格單調增加的,0<a<1時是嚴格單減的。不論a為何值,對數函數的圖形均過點(1,0),對數函數與指數函數互為反函數 。以10為底的對數稱為常用對數 ,簡記為LGX 。在科學技術中普遍使用的是以e為底的對數,即自然對數,記作lnx。

④三角函數。 正弦函數、餘弦函數。

⑤反三角函數:雙曲正、餘弦

⑥雙曲函數:雙曲正弦(ex-e-x),雙曲餘弦(ex+e-x),雙曲正切(ex-e-x)/(ex+e-x) ,雙曲餘切( ex+e-x)/(ex-e-x)。

在數學領域,函數是一種關係,這種關係使一個集合里的每一個元素對應到另一個(可能相同的)集合里的唯一元素(這只是一元函數f(x)=y的情況,請按英文原文把普遍定義給出,謝謝)。函數的概念對於數學和數量學的每一個分支來說都是最基礎的。

20 函數 -冪函數

1、函數y=xa 叫做冪函數,其中x是自變數,指數a為常量,它可以是任意實數。
2、冪函數的性質:
由其定義域所出現的特徵我們知道,冪函數y=xa的圖像和性質與指數a有密切的關係,a>0時,冪函數情形

函數a>0
由上圖可以看出這四個函數有下列性質:
(1)圖像都通過原點和(1,1)點
(2)在區間(0,+  )內,曲線從左到右逐漸上升,即函數Y的值隨X仁政的增大而增大,這時,我們稱函數在區間(0,+  )內單調增加。
(3)Y=X和Y=X3 的圖像關於坐檔原點對稱;   Y=X2的圖像關於Y軸對稱, 的圖像既不關於原點對稱,也不關於Y軸對稱。
總結:由以上特徵可知當a>0時,冪函數y=xa 具有下列性質。
①圖像都過原點和點(1,1)
②函數y在區間(0,+ )內的值隨x值的增大而增大(單調遞增)。
註:我們把圖像關於原點對稱的函數稱為奇函數;圖像關於Y軸以稱的函數稱為偶函數,圖像既不關於原點對稱,又不關於Y軸對稱的函數稱為非奇非偶函數。
2)當a<0時,冪函數情形
函數a<0

 
由圖可以看出這三個函數有以下性質:
(1)圖像都過點(1,1)
(2)在區間(0,+ )內,曲線從左到右逐漸下降,即函數值隨X值的增大而減小,這時我們稱函數在區間(0,+ )內單調減小。
(3) 的圖像關於原點對稱, 的圖像關於Y軸對稱,  的圖像既不對稱於原點,也不對稱於Y軸。
總結:由以上特徵可知當a<0時冪函數 具有下列性質。
① 圖像都通過(1,1)點
② 函數在區間(0,+ )內的值隨X值的增大而減小(單調遞減)。

21 函數 -高斯函數

  設x∈R , 用 [x]或int(x)表示不超過x 的最大整數,並用表示x的非負純小數,則 y= [x] 稱為高斯(Guass)函數,也叫取整函數。
     任意一個實數都能寫成整數與非負純小數之和,即:x= [x] + (0≤<1)

22 函數 -函數關係

函數關係是滿足一定條件的一種關係。
現在用集合的語言給出函數關係的定義:
若D是一個非空實數集合,設有一個對應規則f,使每一個x∈D,都有一個確定的實數y與之對應,則稱這個對應規則f為定義在D上的一個函數關係,或稱變數y變數x的函數。記作y=f(x),x∈D。
X稱為自變數,y稱為因變數。
集合D稱為函數的定義域,也可以記作D(f)。
對於x0∈D(f)所對應的y值,記作y0或f(x0)或y∣x=x0,稱為當x=x0時函數y=f(x)的函數值。
全體函數值的集合{y∣y=f(x),x∈D(f)},稱為函數y=f(x)的值域,記作Z或Z(f)。
函數f(x)中的f反映自變數與因變數的對應規則。對應規則也常常用φ,h,g,F等表示,那麼函數也就記作φ(x),h(x),g(x),F(x)等。有時為簡化符號,函數關係也可記作y=y(x),此時等號左邊的y表示函數值,右邊的y表示對應規則。
在平面直角坐標系中,取自變數在橫軸上變化,因變數在縱軸上變化,則平面點集{(x,y)∣y=f(x),x∈D(f)}即為定義在D(f)上的函數y=f(x)的圖形。

23 函數 -函數的性質

函數的單調性
1、A為函數f(x)定義域內某一區間,

函數函數


 

2、單調性的判定:作差f(x1)-f(x2)判定;根據函數圖象判定;
3、複合函數的單調性的判定:f(x),g(x) 同增、同減,f(g(x)) 為增函數,f(x),g(x)一增、一減,f(g(x)) 為減函數。
函數的奇偶性
1、 函數f(x)的定義域為D,x∈D ,f(-x)=f(x) → f(x)是偶函數;f(-x)=-f(x)→是奇函數。
2、 奇偶性的判定:作和差f(-x)± f(x)=0 判定;作商f(x)/f(-x)= ±1,f(x)≠0 判定
3、 奇、偶函數的必要條件是:函數的定義域關於原點對稱;
4、 函數的圖象關於原點對稱    奇函數;
    函數的圖象關y軸對稱    偶函數
5、 函數既為奇函數又為偶函數   f(x)=0,且定義域關於原點對稱;
6、 複合函數的奇偶性:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇。
函數的周期性
1、設函數y=f(x)的定義域為D,x∈D,存在非0常數T,有f(x+T)=f(x)    →
   f(x)為周期函數,T為f(x)的一個周期;
2、 正弦、餘弦函數的最小正周期為2π,函數y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期是T = 2π/|ω| ;
3、 正切、餘切函數的最小正周期為π,函數y=Atan(ωx+φ)和y=Acot(ωx+φ)的周期是T=π/|ω| ;
4、 周期的求法:定義域法;公式法;最小公倍數法;利用函數的圖象法;
5、 一般地,sinωx 和cosωx類函數加絕對值或平方後周期減半,tanωx 和cotωx類函數加絕對值或平方後周期不變。如:y=|cos2x| 的周期是π/2 ,y=|cotx|的周期是π。

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