標籤:基本函數

定義域 指該函數的有效範圍,其關於原點對稱是指它有效值關於原點對稱 。例如:函數y=2x+1,規定其定義域為-10,10,就是對稱的。

1簡介

f(x)是函數的符號,它代表函數圖象上每一個點的縱坐標的數值,因此函數圖像上所有點的縱坐標構成一個集合,這個集合就是函數的值域。x是自變數,它代表著函數圖象上每一點的橫坐標,自變數的取值範圍就是函數的定義域。f是對應法則的代表,它可以由f(x)的解析式決定。例如:f(x)=x^2+1,f代表的是把自變數x先平方再加1。x2+1的取值範圍(x2+1≥1)就是f(x)=x2+1的值域。如果說你弄清了上述問題,僅僅是對函數f(x)有了一個初步的認識,我們還需要對f(x)有更深刻的了解。

2認識

我們可以從以下幾個方面來認識f(x)。
第一:對代數式的認識。每一個代數式它的本質就是一個函數。象x2-1這個代數式,它就是一個函數,其自變數是x,對x的每一個值x2-1都有唯一的值與之對應,所以x2-1的所有值的集合就是這個函數的值域。
第二:對抽象數的認識,對於一個沒有具體解析式的抽象函數,由於我們不知道它的具體對應法則也難以知道它的自變、定義域、值域,很難理解它的符號及其意義。
例如:f(x+1)的自變數是什麼呢?它的對應法則還是f嗎?f(x+1)的自變數是x,它的對應法則不是f。
我們不妨作如下假設,如果f(x)=x2+1,那麼f(x+1)=(x+1)2+1,f(x+1)與(x+1)2+1這個代數式相等,即:(x+1)2+1的自變數就是f(x+1)的自變數。(x+1)2+1的對應法則是先把自變數加1再平方,然後再加上1。
再如,f(x)與f(t)是同一個函數嗎?
只須列舉一個特殊函數說明。
顯然,f(x)與f(t)它們的對應法則是相同的,如果x的取值範圍與 t的取值範圍是相同的,則f(x)與f(t)就是相同的函數,否則,它們就是對應法則相同而定義域不同的函數了。
例:已知f(x+1)=x²+1 ,f(x+1)的定義域為[0,2],求f(x)解析式和定義域
設x+1=t,則;x=t-1,那麼用t表示自變數f的函數為:(也就是把x=t-1代入f(x+1)=x²+1中)
f(t)=f(x+1)=(t-1)²+1
=t²-2t+1+1
=t²-2t+2
所以,f(t)=t²-2t+2, 則f(x)=x²-2x+2
或者用這樣的方法——更直觀:
令 f(x+1)=x²+1 中的x=x-1,這樣就更直觀了,把x=x-1代入 f(x+1)=x²+1,那麼:
f(x)=f[(x-1)+1]=(x-1)²+1
=x²-2x+1+1
=x²-2x+2
所以,f(x)=x²-2x+2
而f(x)與f(t)必須x與t的取值範圍相同,才是相同的函數,
由t=x+1,f(x+1)的定義域為[0,2],可知道:t∈[1,3]
f(x)=x²-2x+2的定義域為:x∈[1,3]
綜上所述,f(x)=x²-2x+2(x∈[1,3]

3定義域

(高中函數定義)設A,B是兩個非空的數集,如果按某個確定的對應關係f,使對於集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那麼就稱f:A--B為集合A到集合B的一個函數,記作y=f(x),x屬於集合A。其中,x叫作自變數,x的取值範圍A叫作函數的定義域;
如果一個函數是具體的,它的定義域我們不難理解。但如果一個函數是抽象的,它的定義域就難以捉摸。
例如:y=f(x) 1≤x≤2與y=f(x+1)的定義域相同嗎?值域相同嗎?如果已知f(x)的定義域是x∈ [1,2],f(x+1)的定義域是什麼?
因為f(x)的定義域是 x ∈ [1,2],即是說對1≤x≤2中的每一個數值f(x)都有函數值,超出這個範圍內的任何一個數值f(x)都沒有函數值。例如3就沒有函數值,即f⑶就無意義。因此,當x+1的取值超出了[1,2]這個範圍,f(x+1)也就沒有了函數值,所以f(x+1)的定義域是1≤x+1≤2這個不等式的解集,也就是說f(x+1)中x+1的值域是f(x)的定義域,又由於1≤x+1≤2故f(x+1)的值域與f(x)(1≤x≤2)的值域也就自然相同了。
看是不是同一個函數,因為都是f(),所以是同一個
(是不是統一函數只要看()前面的字母是不是同一個,注意大小寫也要一樣才是同一函數)
題目中的「已知函數f(x)」中的x是一個抽象的概念,
x可以代替f()括弧中任意表達式,
如果他的定義域是(a,b)
那麼,x+m和x-m的定義域(定義域都是指括弧內x的取值範圍)都是(a,b)
就高中課程而言,函數定義域是說函數f(x)中,x的取值範圍。
二、求函數的定義域:
求函數的定義域:
y=1/x 分母不等於0;
y=sprx 根號內大於等於0;
y=logaX 對數底數大於0且不等於1,真數大於0;

4區別值域

值域定義
函數中,應變數的取值範圍叫做這個函數的值域函數的值域,在數學中是函數在定義域中應變數所有值的集合
常用的求值域的方法
(1)化歸法;(2)圖象法(數形結合),
(3)函數單調性法,
(4)配方法,(5)換元法,(6)反函數法(逆求法),(7)判別式法,(8)複合函數法,(9)三角代換法,(10)基本不等式法等

5誤區

關於函數值域誤區
定義域、對應法則、值域是函數構造的三個基本「元件」。平時數學中,實行「定義域優先」的原則,無可置疑。然而事物均具有二重性,在強化定義域問題的同時,往往就削弱或談化了,對值域問題的探究,造成了一手「硬」一手「軟」,使學生對函數的掌握時好時壞,事實上,定義域與值域二者的位置是相當的,絕不能厚此薄彼,何況它們二者隨時處於互相轉化之中(典型的例子是互為反函數定義域與值域的相互轉化)。如果函數的值域是無限集的話,那麼求函數值域不總是容易的,反靠不等式的運算性質有時並不能奏效,還必須聯繫函數的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的取值情況。才能獲得正確答案,從這個角度來講,求值域的問題有時比求定義域問題難,實踐證明,如果加強了對值域求法的研究和討論,有利於對定義域內函的理解,從而深化對函數本質的認識。
「範圍」與「值域」相同嗎?
「範圍」與「值域」是我們在學習中經常遇到的兩個概念,許多同學常常將它們混為一談,實際上這是兩個不同的概念。「值域」是所有函數值的集合(即集合中每一個元素都是這個函數的取值),而「範圍」則只是滿足某個條件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都滿足這個條件)。也就是說:「值域」是一個「範圍」,而「範圍」卻不一定是「值域」。
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